等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和的最值问题
问题引入：已知数列的前n项和,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:当n=1时:
综上:,其中:,
探究1:一般地,如果一个数列的前n项和为: 0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r0时不是
一、 应用二次函数图象求解最值
例1：等差数列中，，则n的取值为多少时？最大
分析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件可知，d<0，且，
其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为，
而，且6.5介于6与7的中点，从而或时最大。
1. 已知等差数列{}中=13且=,那么n取何值时,取最大值.
解析：设公差为d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2d=-2, =13-2(n-1), =15-2n,
由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,取最大值.
2. 已知an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，若S10=0，求数列an前　5　项和取得最大值．
结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，S10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列an前5项和取得最大值．
二、转化为求二次函数求最值
例2、在等差数列{}中,＝－14,公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值
分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
解析：∵＝＋3d,∴－14＝＋9,＝－23,∴＝－23n＋＝[(n－)－],
∴当n=最小时，最小，但由于，介于8与9之间，，
即有且，故当n＝8＝－100最小.
点评：通过条件求出，从而将转化为关于n的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。
3. 已知等差数列中，前项和，则使有最小值的是（B）
A、B、C、D、
4. 已知an是等差数列，其中a1=31，公差d=﹣8，则数列an前n项和的最大值为　76　．
分析：（1）根据数列的首项和公差写出数列的前n项和，它是关于n的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n的取值．
解答：解：（1）∵an是等差数列，其中a1=31，公差d=﹣8，∴数列an前n项和sn=﹣4n2+35n，
根据二次函数的性质，当n=时，前n项和sn取到最大值，∵n∈N，∴n=4，∴前n项和sn的最大值是sn=﹣64+140=76，
5. 已知一个等差数列的前项的和是，前项的和是.求此等差数列的前项和，并求出当为何值时，最大，最大值是多少？ =当N=10或11时，取最大值为110
6. 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是
设{an}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=-2，∴sn=39n+×（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．
7. 已知等差数列an的公差d＜0，若a3a7=9，a1+a9=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为　49　．
分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10，又第3项与第7项的积为9，写出一个两根为a3和a7关于x的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d小于0可得到a3和a7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n项和公式，配方后即可求出数列的前n项和Sn的最大值．解答：解：由题意a1+a9=10，得到a3+a7=10，又a3a7=9，得到a3，a7为方程x2﹣10x+9=0的两根，且d＜0，得到a3=9，a7=1，则d=﹣2，所以a1=13，Sn=﹣n2+14n﹣49+49=（n﹣7）2+49，则当n=7时，该数列的前n项和Sn的最大值为49．故答案为：49
8. 在等差数列an中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值．
解：由S17=S9，得到=，即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=25，得：d=﹣=﹣2，所以an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+27，
则Sn===﹣n2+26n=﹣（n﹣13）2+169，所以当n=13时，Snmax=169．
三、在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：??
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
例3：已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？
由an＝24－3n知当时，，当时，，前8项或前7项的和取最大值.
9. 已知等差数列{bn}的通项bn＝2n-17,则前多少项和最小?
解：由bn＝2n－17n知当时，，当时，，前8项的和取最小值.
点评：通过数列中数的特性，可由，从解不等式来确定的最大值。小结：对等差数列前n项和的求法，通常从二次函数与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n取何值才符合
10. 已知等差数列{an},满足an=40-4n,求前多少项的和最大?最大值是多少?
解法一:由
解法二:自然数是什么令．
11. 在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是　5或6　．
分析：根据d＜0，|a3|=|a9|，判断出a3=﹣a9，进而根据等差数列的通项公式求得a1+5d=0，判断出a6=0进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前n项和Sn取得最大值的自然数n的值．
解答：解：∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3=﹣a9，∴a1+2d=﹣a1﹣8d，∴a1+5d=0，∴a6=0，∴an＞0（1≤n≤5），
12. ∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6．故答案为：5或6等差数列{an}的公差d＜0，且a12=a102，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n=　5　．
分析：由a12=a102，得到a1和a10相等或互为相反数，因为公差d小于0，所以得到a1和a10互为相反数即两项相加等于0，又根据等差数列的性质可知a5和a6的和等于a1和a10的和等于0，得到数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数为5．解答：解：由d＜0，a12=a102，知a1+a10=0∴a5+a6=0，所以此数列从从第6项开始，以后每项都小于0，故Sn取得最大值时的项数n=5．故答案为：5．
点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，掌握两数平方相等时两数的关系，是一道中档题．
13. 已知等差数列{an}，3a5=8a12，a1<0，设前n项和为Sn,求Sn取最小值时n的值．
[分析]求等差数列前n项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由完成.
解法一: 点(n,Sn)是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数的图象上,其对称轴距离x=15.7最近的整数点(16,S16),
解法二:
14. 已知等差数列{an}，3a4=7a7，a1>0，设前n项和为Sn,求Sn取最大值时n的值．9
15. 已知等差数列{}, ,=.若，求数列{}的前n项和的最小值.
分析：①由与的关系，可写出之间的关系，两式作差，即可得出与间的关系；
②{}的前n项和最小，估计{}的前n项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小.
解=-=-，即8=（+2-（+2，所以（-2-（+2=0，
即（+）（--4）=0，因为，所以+0，即--4=0，所以-=4，
因此等差数列{}的公差大于0. = =,解得=2.所以=4n-2,则=2n-31.
即数列{}也为等差数列且公差为2.由，解得，因为n，所以n=15,故{}的前15项为负值，因此最小，可知=-29，d=2,所以数列{}的前n项和的最小值为==-225.
16. 为等差数列，公差为，为其前项和，,则下列结论中不正确的是（A）
（A）（B）（C）（D）
17. 等差数列的前项和为，若，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论是--------------(?A?)A．②③??????????B．①③????????????C．①④???????????D．②④

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。