2023年河南考研数学二试题及答案
一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1. 1
ln(e )1
y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1e
y x =- 【答案】B.
【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
，则 1lim
limln e ln e 11x x y x x →∞→∞
⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭
， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞
⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦
1
lim
e(1)e
x x x →∞==-，
所以斜渐近线为1
e
y x =+
.故选B. 2.
函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩
的一个原函数为（ ）.
A
．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪+->⎩
B
．)
ln 1,0()(1)cos sin ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪+->⎩
C
．)
ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪++>⎩
D
．)
ln 1,0()(1)sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪++>⎩
【答案】D.
【解析】由已知0
lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-
→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.
又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.
故选D.
3.设数列{},{}n n x y 满足111111
,sin ,22
n n n n x y x x y y ++====，当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小
D.n x 是n y 的同阶但非等价无
穷小
【答案】B. 【解析】在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 11
1
11
22444n
n
n n n
n n n
y y y y x x x x ππππ
++⎛⎫⎛⎫
<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以1
1
lim
0n n n y x +→∞
+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.
A.0,0a b <>
B.0,0a b >>
C.0,0a b =<
D.0,0a b =>
【答案】D
【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.
①若2
40a b -<
，则通解为2
12()e
()a x y x C x C x -=+；
②若240a b ->
，则通解为2212()e
e
a
a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝
⎭
⎝⎭
=+；
③若2
40a b -=，则通解为2
12()()e a x y x C C x -=+.
由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a -
>，则①②③中x →+∞时通解无界，若02
a
-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.
0a =时，若0b > ，
则1,2r =，
通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.
0a =时，若0b <
，则1,2r =
，通解为12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.
综上可得0a =，0b >.故选D.
5. 设函数()y f x =由参数方程2||
||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩
确定，则( ).
A.()f x 连续，(0)f '不存在
B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续
C.()f x '连续，(0)f ''不存在
D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续
【答案】C
【解析】0
lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.
0()(0)||sin (0)lim
lim 02||
x t f x f t t
f x t t →→-'===+. sin cos ,03
()()00()sin cos 0t t t
t y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪
''===⎨'⎪
--<⎪⎩
0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <；时，0x <，故()f x '在0x =连续.
2023考研时间00sin cos 0
()(0)23(0)lim lim 39x t t t t
f x f f x t ++
+→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0
(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t
--
-→→''----''===-,
故(0)f ''不存在.故选C. 6. 若函数1
2
1
()(ln )αα+∞
+=
⎰
f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( )
A.1
ln(ln 2)
-
B.ln(ln 2)-
C.1
ln 2
-
D.ln 2
【答案】A. 【解析】已知1
12
2
21d(ln )111
()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)
a
a a a
x f a x x x x x a a +∞
+∞+∞-++=
==-=
⎰
⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a a
f a a a a a ⎛⎫
'=-
-=-+ ⎪⎝⎭
，
令()0f a '=，解得01
.ln ln 2
a =-
故选A.
7.设函数2
()()e x
f x x a =+.若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是( ). A.[0,1) B.[1,)+∞ C.[1,2) D. [2,)+∞
【答案】C.
【解析】由于()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e x
f x x x a '=++有两
个相等的实根或者没有实根，2()(42)e x
f x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知
440,
164(2)0,a a -≤⎧⎨
-+>⎩
解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*
M 为M 的伴随矩阵，则*
⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O B
A.****||||⎛⎫
- ⎪⎝⎭A B B A O B A
B.****||||⎛⎫
- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O
A B
D.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O
B |A
【答案】B 【解析】由于
*
||||||||⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A E A E A E E O A
B O O B O B O B O E O A B ， 故
*1
||||
||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A E A E A
B O O B O B O A B
1111
||||
||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111
||||||||||||----⎛⎫
-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****
||||⎛⎫
-= ⎪⎝⎭A B A B O
B A . 故选B.
9. 2
2
2
123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为 A.2
2
12y y +
B.22
12y y -
C.222
1234y y y +-
D.222
123y y y +-
【答案】B
【解析】2
2
2
123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--
222
123121323233228x x x x x x x x x =--+++，
二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，
21
1
21
||134(7)1311
4
31
4
1
λλλλ
λλ
λ
---=--=+-----A E
21
(7)210(7)(3)01
4
1
λλλ
λλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为22
12y y -，故选B.
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