3.设函数y f (x )由2023年全国硕士研究生招生考试（数学一）试题及答案解析
一、选择题1.曲线1ln e 1y x x
的斜渐近线方程为A. e.1
B..
e
C..1
D..
e
y x y x y x y x 上有界，则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.
2.若微分方程y ay by 0的解在 ，
A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.
2,
sin x t t y t t
确定，则
A.f (x )连续,f (0)不存在.
B.f (0)存在,f (x )在x 0处不连续.
C.f (x )连续,f (0)不存在.
D.f (0)存在,f (x )在x 0处不连续.
4.已知a n b n
n 1
n 1,2, ，若级数
n 1
a
n
与
n 1
b
n
均收敛，则“
n 1
a
n
绝对收敛”是“
b
n
绝
对收敛”的A.充分必要条件.
B.充分不必要条件.
8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E (X EX ) A.
1e
. B.
12
.
C.
C.必要不充分条件.
D.既不充分也不必要条件.
5.已知n 阶矩阵A ,B ,C 满足ABC =O ,E 为n 阶单位矩阵.记矩阵
, ,
O A AB C E AB
BC E O E AB O 的秩分别为r 1,r 2,r 3，则A.r 1 r 2 r 3.B.r 1 r 3 r 2.C.r 3 r 1 r 2.D.r 2 r 1 r 3.
6.下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是
.0
02
02 3 11a
A.
12.00 3 11a
B. a
2.0 002 11a
C. 0
.0
02
02
2 11a
D.
1 2 3 7.已知向量 1 1
1 2 , 2 5
9 2
, 1 1
1 ，
2 ，若 既可由 1, 2，线性表示，也
可由 1, 2线性表示，则 =
3 A.k 3
4 50 3
,k R . B.k
1 ,k R .1
2 1
C.k
,k R . 1 D.k 5
8
,k R .2e . D.1.
10.设X 1,X 2为来自总体N
,
2
的简单随机样本，其中 0 是未知参数.记若
a X 1 X 2
是 的无偏估计，则a
A.
2
B.
2
9.设X 1,X 2, ,X n 为来自总体N
1,
2
的简单随机样本，Y 1
,Y 2
, ,Y
m
为来自总体
N 2,2 2 的简单随机样本，且两样本相互独立，
1111n m n m i i i 1
i 1记X X i ,Y m X i X Y i Y
n Y i ,S 12 n 1 1 2,S 22
m 1 1 2，则A.2
12
S 2 F n ,m B.2
12S S 2 F n 1,m 1 C.2
122
S 2S S F n ,m D.2
122
2S S F n 1,m 1 cos x 是等价无穷小，则
二、填空题
11.当x 0时，函数f (x ) ax bx 2 ln(1 x )与g (x ) e x 2
ab ______.
12.曲面z x 2y ln(1 x 2 y 2)在点(0,0,0)处的切平面方程为______.
2n a a n cos n πx ,
1
13.设f (x )是周期为2的周期函数，且f (x ) 1 x ,x [0,1].若f (x )
n 1
a
2n
______.
则
14.设连续函数f (x )满足：f (x 2) f (x ) x ,
1
3
f (x )d x ______.
2
f (x )d x 0，则 101 1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1
15.已知向量 1
, 2 , 3 , , k 1 1 k 2 2 k 3 3.若 T i T i (i 1,2,3)，则k 12 k 22 k 32
______.
11
16.设随机变量X 与Y 相互独立，且
X B (1,3),Y B (2,2
)，则P X Y ______.三、解答题
17.(本题满分10分）
设曲线y y (x )(x 0)经过点 1,2 ，该曲线上任一点P (x ,y )到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.（1）求y (x );1
（2）求函数f (x )
x
y (t )dt 在 0, 上的最大值.
18.（本题满分12分）
求函数f (x ,y ) (y x 2)(y x 3)的极值.
19.（本题满分12分）
设空间有界区域 由柱面x 2
y 2
1与平面z=0和x+z=1围成. 为 的边界曲面的外侧.
计算曲面积分
2xzdydz xz cos ydzdx 3yz sin xdxdy .
I
a
2|f (a ) f ( a )|.20.(本题满分12分）
设函数f (x )在[ a ,a ]上具有2阶连续导数.证明：
(1)若f (0) 0，则存在 ( a ,a )，使得f ( ) a
1
2[f (a ) f ( a )]；(2)若f (x )在( a ,a )内取得极值，则存在 ( a ,a )，使得|f ( )|
21
21.(本题满分12分)已知二次型
f (x 1,x 2,x 3) x 12 2x 22 2x 32 2x 1x 2 2x 1x 3,
g (y 1,y 2,y 3) y 12 y 22 y 32 2y 2y 3.
(1)求可逆变换x =Py 将f (x 1,x 2,x 3)化成g (y 1,y 2,y 3);
(2)是否存在正交变换x =Qy 将f (x 1,x 2,x 3)化成g (y 1,y 2,y 3)？ 2f (x ,y ) π
(x 2 y 2),x 2 y 2
1,
0,
22.（本题满分12分）
2023考研时间设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为其他.求：(1)求X 与Y 的协方差;(2)X 与Y 是否相互独立？(3)求Z =X 2+Y 2的概率密度.
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