欧拉不等式又两则简证
2016年第5期中学数学教学63
欧拉不等式又两则简证
江苏省建湖县城南实中教育集团近湖校区 吕爱生 （邮编：224700)
不等式“i?>2r”，也即“三角形的外接圆半 径不小于其内切圆直径”，这就是著名的欧拉(Euler)不等式.
文[1]、[2]给出的欧拉不等式“证法不容 易”，文[3]、[4]给出了“更简捷证法”，受其启发，本文将再给出两则新简证.
本文中，设A A B C的三边a、6、£：所对的角 分别为A、B、C，A A B C的外接圆和内切圆的 半径分别为尺、r.
证法1在A A B C中，根据基本不等式和正 弦函数的凸凹性质，可得：江苏邮编
4sinAsinBsinC<4(sinA+sinB+sinC^=
嘉（sinA十 sinB十 sinC)2•(sinA十 sinB十 sinC) ^^ (3sin八+g+C).(sinA+sin_B+sinC)
=sin A+sin B十sinC，等号当且仅当sinA = sinB =sinC，即在 <2 = 6 =c时成立.
所以进一步可得：
S aabc=-^-ahsinC =2_R2sinAsin_BsinC ^
(sinA十sinB十sinC) =十&十<:)；又S aabc=-^■r(a十&十 c)，所以-^r(a十&十 c) <；十&十 c)，立.
注释证法一也用三角证法，但篇幅极短且 浅显易懂，避免了文[1]妙证的繁琐.
下面仍采用边变换和均值不等式，通过比值 估计法来获得比文[3]更为简捷的证法.
证法 2若再设 a =x+=：y+z，c=z 十x，其中x、：y、z为正数，贝!j半周长，=x十：y十之，有 S=\/p ip— a)(p— b)(p— c)= V xyzp.又 S =g，S =rp，所以
_abcp _(x y)(y-hz)(z-hj：)p _ 2r8S2%xyzp
(x+y)(y+z)(z+x) >
8xyz^
2\/xy.2\/yz*2\fzx一
8xyz’
故只>2r，等号当且仅当x=：y=z，即a= 6 =c时成立.
参考文献
1 丁遵标.用三角妙证欧拉不等式[J].数学通报，2000
(6)
2孟祥礼.欧拉不等式的一种简捷证法[J].数学通报，2003(4)
3季新明.尺>2r的更简捷证法[J].数学通报,2007,8 4吕爱生.能揭示欧拉不等式本质的简证[J].数学通报，2009(4)
即得只>2r，等号当且仅当a =  6 =c时成
(收稿日期：2016-07-22)

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