小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案）
知识要点
我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
解题指导1
1.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？
【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。
第一类：百位上为1的有：123 132
两拨第二类：百位上为2的有：213 231
第三类：百位上为3的有：312 321
答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。
【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？
解题指导2
2. 骰子中的点数
掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。
【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：
1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：
2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
答：小明获胜的可能性大。
【变式题2】用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的质量有多少种？
解题指导3
3.下面这道题比较直观的展示解决问题有多种方法和途径，通过本题的练习可以开阔我们的发散思维。
【例3】如图所示，数字1处只有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5处。规定每次只能移动到邻近的一格，且总是向右移动。例如1→2→4→5就是一条移动路线。问：共有多少种不同的移动路线？
【思路点拨】从1向右移动到邻近的一格有两种方法，1到2和1到3；从2 向右移动到邻近的一格也有两种移法，从2到3，从2到4；从3向右移动到邻近一格，也有两种移法，从3到5，从3到4，从4移动到邻近一格有1种移法。
画图表示：
答：共有5种移动路线。
【变式题3】有红、黄、蓝的小旗各1面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，组合出各种不同信号，一共可以组合不同信号多少种？
解题指导4
【例4】课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中的第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的人应是第几号？
【思路点拨】我们把1～30号同学用编号列出。
进行第一次操作，单号全部站出来。站出来的同学有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29。
然后进行第二次操作，从余下的人中的第一个人站出来，隔一人站出来一人。第一个人是2号，往后分别是6，10，14，18，22，26，30.
余下的人还有4，8，12，16，20，24，28.
第三次站出来的人有4，12，20，28.
第四次站出来的人是8，24。
第五次只有16号，也是最后一个。
答：到第5次这些人全部都站出来了，最后站出来的人应是第16号。
总结：本题应用了排除法，通过列举每次变化后的数，最后余下的数就是我们要的数。
【变式题4】如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到D的最短长度为4厘米。这样的最短线段共有多少条？一一画出来。
规律小结
一、用枚举法解题时要掌握一下三点：
1．列举时应注意有条理地列举，不能杂乱无章地罗列。
2. 根据题意，按范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏。
3．排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。
二、枚举的方法常用的有：
1、列表枚举。如我们第6讲中解决鸡兔同笼问题时采用的列表法，就是采用列表枚举的方法。
2、画图枚举，为了更清楚地表示出所有可能的情形。用画树图枚举法，能做到形象直观，条理分明，简炼易懂。特别适用于出所有的情形或结果。
【基础巩固】
1.用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
2.从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有几条路可走？
3.甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有几种不同的排法？
4.从3，6，7，8这四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成几个不同的三位数，最大的三位数是多少？最小的三位数是多少？
5、现有1克、2克、3克重的砝码，要用10个砝码称出重20克的物体。在取出的砝码中，1克重的有3个，那么3克重的砝码应该有多少个？
6、小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）?
7.某餐厅的菜单如下：汤类：A.鸡蛋汤；B.三鲜汤。 菜类：C.炒肉丝；D.红烧猪肉；E.炒青菜。 饮料类：（1）高橙；（2）苹果可乐；（3）葡萄酒。 每顿饭若只能各类选一种，试问：可以有多少种不同的选购方法？ 请写出这些选购菜单。
【培训提优】
1.用1，0，3，5这四个数可以组成几个四位数？
2.有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7，8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是多少？
3.已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有多少个？
4、用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？
5. 从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有几种不同的拿法？
6、数一数，右图中有多少个三角形。
竞赛提升
1、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？
（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）
2．有红、黄、蓝小旗各一面，它们的大小规格都相同，只是颜不同。如果把它们挂在一个高杆上，按所挂的面数及从上到下的颜顺序表示不同信号，那么这些旗可表示 种不同信号。
（陕西省凤翔县2008年小学数学竞赛试题（卷））
3．用一根长38厘米的铁丝围长方形，使它们的长和宽都是整厘米数，可以有（ ）种围法。
A、7 B、8 C、9 D、10
4、果篮里有苹果、香蕉、梨、桔子、桃五种水果若干个，每个人可以从中任取两个，那么最少需要多少个人才能保证至少有2人选的水果是完全相同的？
答案与提示
【变式题1】
【思路点拨】因为0不能作开头数字，所以开头数字只能有4种情况，余下的数字作为个位数各有4种情况。
列举每个数字开头的情况分别有：
6开头的数有4种：60，67，68，69
7开头的数有4种：70，76，78，79
8开头的数有4种：80，86，87，89
9开头的数有4种：90，96，97，98
一共有4×4=16（个）
答：五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有16个.
【变式题2】
【思路点拨】共有三个质量各不相同的砝码,可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的质量，一一列举这三种情况：
一个砝码的有3种：1克，3克，9克
二个砝码的有3种：1+3=4克，1+9=10克，3+9=12克
三个砝码的有1种：1+3+9=13克
解：3+3+1=7（种）
答：可称出7种不同的重量。
【变式题3】
【思路点拨】（1）选用1面小旗有3种方法，可表示3种不同的信号。
（2）选用2面小旗可表示6种不同的信号；红黄；红蓝；黄蓝；黄红；蓝红；蓝黄。
（3）选用3面小旗可表示6种不同的信号：红黄蓝；红蓝黄；黄红蓝；黄蓝红；蓝红黄；蓝黄红。一共可以组合出3+6+6＝15种不同信号。
答：一共可以组合不同信号15种。
【变式题4】
【思路点拨】画图分析。
从A到D可分为经过O和H两种路线，而每种路线又有3种，所以共有3+3=6种。将各种路线一一列出，一共有6条，如下图。
解：（1） （2） （3） （4） （5） （6）
答：这样的最短线段共有6条。
【基础巩固】
1、【解答】7在百位上的数有：789，798
8在百位上的数有：879，897
9在百位上的数有：978，987
共有2+2+2=6（个）
2、解答：从甲地到乙地的2条路线，每条都有3条可以走到丙地，所以有2个3条，一共有2×3=6条。
答：由甲地经乙地到丙地共有6条路可走.
3、解答：用枚举法可排列为：①甲乙丙丁②甲乙丁丙③甲丙乙丁④甲丙丁乙⑤甲丁乙丙⑥甲丁丙乙⑦乙丙丁甲⑧乙丁丙甲⑨丙乙丁甲⑩丙丁乙甲○11丁乙丙甲○12丁丙乙甲。
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