2018年广州二模理科数学试题(含详细答案)
2018年广州二模理科数学试题(含详细答案)
2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试卷，共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.在答题卡上填写姓名、考生号、试室号和座位号，并用2B铅笔填涂考生号。2018广东高考
2.选择题用2B铅笔在答题卡上填涂，填涂错误需用橡皮擦干净。
3.填空题和解答题必须使用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内，不得使用铅笔和涂改液。
4.必须保持答题卡整洁，考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知z1=1+2i，z2=1-i，则z1z2=6.
2.已知集合M={x|x≤2,x∈Z}，N={x|x-2x-3<0}，则M=[-1,2]。
3.执行如图所示的程序框图，若输出y=3，则输入x的值为2.
4.已知C: (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)^2+y^2=1相切，则C的渐近线方程为y=±(x/3)。
5.根据图表，结论B“2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加”是正确的。
6.已知cos(α)+cos(β)=1/2，sin(α)+sin(β)=√3/2，则α-β=π/3.
7.已知椭圆C: (x^2/16)+(y^2/9)=1，点P(4,1)在C上，则点P关于x轴的对称点P'的坐标为(4,-1)。
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
8.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，当x=1时，f(x)=0，f'(1)=0，f''(1)=2，则a=-3，b=3，c=-1.
9.已知向量a=2i+j，b=i+2j，则|a-b|=√10.
10.已知函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0，f''(x)+2f'(x)+f(x)=0，则f(x)=e^(-x)(x^2-2x)。
11.已知三角形ABC，点D为BC边上的点，AD角平分线交BC边于点E，且AB=3,AC=4,AE=1，则BD=2.
12.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，当x=1时，f(x)=0，f'(x)=0，f''(x)=6，则a=-6，b=9，c=-4.
13.已知直线L1过点A(1,2,3)，与平面π：2x-y+z=1垂直，则L1的方向向量为(2,1,0)。
三、解答题：共5小题，每小题10分，共50分。
14.已知向量a=(1,2,-3)，b=(2,-1,1)，c=(1,-1,2)，求向量组(a+b-c,2a-b,3c-a)的线性无关组。
解：对于向量组(a+b-c,2a-b,3c-a)，设其线性组合为k1(a+b-c)+k2(2a-b)+k3(3c-a)=(0,0,0)，即(k1+2k2-k3)a+(k1-k2-3k3)b+(3k1+k3)c=(0,0,0)。由于向量a,b,c线性无关，所以k1+2k2-k3=0，k1-k2-3k3=0，3k1+k3=0.解得k1=3/4,k2=1/4,k3=9/4，所以向量组(a+b-c,2a-b,3c-a)的线性无关组为(3,2,3)，(2,-1,-1)，(1,2,-3)。
15.已知函数f(x)=ln(x+1)-ln(x^2+1)，求f'(x)和f''(x)。
解：f'(x)=1/(x+1)-2x/(x^2+1)，f''(x)=[(x^2+1)-2(x+1)(-2x)]/[(x+1)^2(x^2+1)^2]=4x^3+6x^2-4x-1]/[(x+1)^2(x^2+1)^2]。
16.已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x+1，求f(x)的单调区间和极值。
解：f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2，f''(x)=6(x-1)，所以f(x)在x=1处取得极小值，为f(1)=2，且f(x)在x1时单调递减和单调递增。
17.已知函数f(x)=sinx/x，证明f(x)在(0,+∞)上单调递减。
解：对于x>0，f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2，所以f'(x)0，所以sinx/x<1，所以当cosx<1时，cosx<sinx/x，即x∈(2kπ,π/2+2kπ)∪(3π/2+2kπ,2(k+1)π)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减。

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