第３０卷 第５期运 筹 与 管 理
Ｖｏｌ．３０，Ｎｏ．５
２０２１年５月ＯＰＥＲＡＴＩＯＮＳＲＥＳＥＡＲＣＨＡＮＤＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴＳＣＩＥＮＣＥ
Ｍａｙ．２０２１
收稿日期：２０１９ ０５ １８
基金项目：国家自然科学基金资助项目（７２０７１１９２，７１６７１１７２）；国家自然科学基金重点项目（７１６３１００６）；中科大创新体培育项目（ＷＫ２０４０００００２７）；２０２０年安徽省级质量工程教学研究项目（２０２０ｊｙｘｍ２２７９）；安徽省校企合作实践教育基地项目（２０１９ｓｊｊｄ０２）；中科大教学研究项目（２０１９ｘｊｙｘｍ０１９，２０２０ｙｃｊｇ０８）
作者简介：李勇军（１９８２ ），男，安徽无为人，副教授，硕士生导师，博士，研究方向：数据包络分析；蔡华权（１９９３ ），男，福建泉州人，硕士研究生，研究方向：数据包络分析。
基于Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数的ＤＥＡＴＯＰＳＩＳ方法研究
李勇军， 蔡华权
（中国科学技术大学管理学院，安徽合肥２３００２６）
摘 要：本文通过对Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数的引入，正式构建了ＤＥＡＴＯＰＳＩＳ决策单元排序方法的框架。本文首先定义
了正（负）理想决策制定单元（ＤＭＵ）以及相应的（反）生产可能集，然后在考虑正（负）理想ＤＭＵ的条件下分别给
出Ｄ
ＭＵ的（反）效率评价模型以及对应的Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数，然后基于评价对象到理想ＤＭＵ相对接近度这一综合评价值给出了Ｄ
ＭＵ的一个完全排序。最后，本文通过算例分析说明了该方法的有效性和实用性。关键词：ＤＥＡ；ＴＯＰＳＩＳ；排序；Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数；生产可能集；效率前沿面中图分类号：Ｃ９３４ 文章标识码：Ａ 文章编号：１００７ ３２２１（２０２１）０５ ０１１６ ０６ ｄｏｉ：１０．１２００５／ｏｒｍｓ．２０２１．０１５３
ＡＳｔｕｄｙｏｎＩｎｔｅｇｒａｔｉｎｇＤＥＡａｎｄＴＯＰＳＩＳＢａｓｅｄｕｐｏｎＳｈｅｐｈａｒｄＤｉｓｔａｎｃｅＦｕｎｃｔｉｏｎ
ＬＩＹｏｎｇ ｊｕｎ，ＣＡＩＨｕａ ｑｕａｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｈｅｆｅｉ２３００２６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｒａｄｉｔｉｏｎａｌＤＥＡｍｏｄｅｌｓｍｅａｓｕｒｅＤＭＵ’ｓｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｕｓｉｎｇａｓｅｔｏｆｓｐｅｃｉｆｉｃｗｅｉｇｈｔｓｗｈｉｃｈｉｓｍｏｓｔｂｅｎｅ
ｆｉｃｉａｌｔｏｔｈａｔＤＭＵ’ｓｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｓｃｏｒｅ．Ｓｏｍｅｓｃｈｏｌａｒｓｐｏｉｎｔｏｕｔｔｈａｔｉｔｃａｎ’ｔｇｕａｒａｎｔｅｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｍｅａｓｕｒｅ．ＴＯＰＳＩＳｐｒｏｖｉｄｅｓａｇｏｏｄｉｄｅａｔｏｓｏｌｖｅｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍｂｅｃａｕｓｅｉｔｃｏｎｓｉｄｅｒｓｂｏｔｈｉｄｅａｌａｎｄａｎｔｉ ｉｄｅａｌｓｉｔｕａ ｔｉｏｎｓ．ＢｙｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇＳｈｅｐｈａｒｄｄｉｓｔａｎｃｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｆｏｒｍａｌｌｙｄｅｖｅｌｏｐｓａｇｅｎｅｒａｌｆｒａｍｅｗｏｒｋｏｆｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ
ＤＥＡａｎｄＴＯＰＳＩＳｆｏｒｒａｎｋｉｎｇ．Ｔｈｅｐａｐｅｒｆｉｒｓｔｄｅｆｉｎｅｓｉｄｅａｌ
（ａｎｔｉ ｉｄｅａｌ）ＤＭＵｓａｎｄｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ（ａｎｔｉ ）ｐｒｏ ｄｕｃｔｉｏｎｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙｓｅｔ，ｔｈｅｎｂａｓｅｄｕｐｏｎｔｈｅｉｄｅａｌ（ａｎｔｉ ｉｄｅａｌ）ＤＭＵｓ，ｅｌｉｃｉｔｓｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｏｄｅｌｓａｎｄＳｈｅｐｈａｒｄｄｉｓｔａｎｃｅｆｕｎｃｔｉｏｎｆｏｒｅａｃｈＤＭＵ，ａｎｄｓｈｏｗｓａｃｏｍｐｌｅｔｅｒａｎｋｂｙａｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｉｎｄｅｘｃａｌｌｅｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｅｃｌｏｓｅｎｅｓｓｔｏｔｈｅｉｄｅａｌＤＭＵ．Ａｔｔｈｅｅｎｄ，ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｈａｓｓｈｏｗｎｔｈａｔｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｉｓｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｖａｌｉｄａｎｄｐｒａｃｔｉｃａｂｌｅ．ＴｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｍｂｉｎｅｓａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆＤＥＡａｎｄＴＯＰＳＩＳ，ｃｏｎｓｉｄｅｒｓｉｄｅａｌＤＭＵｓａｎｄａｎｔｉ ｉｄｅａｌＤＭＵｓ，ｇｅｎｅｒａｔｅｓｆａｉｒｅｒｒｅｓｕｌｔｓ，ａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｓ２ｄｅｆｅｃｔｓｏｆＷＬ’ｓｍｏｄｅｌ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＤＥＡ；ＴＯＰＳＩＳ；ｒａｎｋ；Ｓｈｅｐｈａｒｄｄｉｓｔａｎｃｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙｓｅｔ；ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｆｒｏｎｔｉｅｒ
０ 引言
数据包络分析（ＤＥＡ）方法的一个主要作用就
是对决策制定单元（ＤＭＵ）的排序［１～３］。但是，直接用传统Ｄ
ＥＡ模型（ＣＣＲ［４］、ＢＣＣ模型［５］
）中的多指标效率值进行评价存在诸多缺陷，主要有：（１）传统ＤＥＡ模型只能分辨出决策单元是ＤＥＡ有效还是非有效，不具备对决策单元进行分级、排序的
能力［１］
；（２）ＤＭＵ之间排序取决于ＤＭＵ的相对效
率值大小，传统ＤＥＡ模型中计算效率值的权系数
只在对被评价单元最有利（使其效率值最大）的特定范围内取值，容易形成夸大长处、回避缺陷。因此，传统ＤＥＡ模型中ＤＭＵ效率值的这种乐观（
ｏｐｔｉｍｉｓｔｉｃ）确定方法很难保证效率评估结果的准确性［６］
。
由于存在以上的问题，学者们开始对ＤＥＡ模型加以适当的改造和完善。Ａｎｄｅｒｓｅｎ和Ｐｅｔｅｒｓｅｎ
提出的超效率模型［７］
，是解决传统模型缺陷（１）的
一个经典代表，该方法的基本思想是在评价某个决
策单元时，将其排除在决策单元的集合之外。这种方法在很多领域有着广泛的应用［８～１０］。尽管如此，在某些情况下该模型可能无解以及有效ＤＭＵ的超效率值可能不稳定［１１～１３］。类似的方法还有标杆（Ｂｅｎｃｈｍａｒｋ）排序模型［１４～１６］。尽管如此，这些模型均没有涉及缺陷（２）的改进。
与之对应的是，Ｓｅｘｔｏｎ等人提出的交叉效率评价方法［１７］，该方法主要是改变传统的自评体系（乐观方法）而采用自互评体系，从而达到纠正传统ＤＥＡ模型缺陷（２）的目的，也有着广泛应用［１８，１９］。但是该方法的缺点也很明显，就是一般情况下交叉效率值不唯一［２０］。从而由该模型得到的排序并不具有实际意义。Ｅｎｔａｎｉ［２１］等则首先从乐观（ｏｐｔｉ ｍｉｓｔｉｃ）角度给出ＤＭＵ的最大相对效率值，然后从悲观（ｐｅｓｓｉｍｉｓｔｉｃ）角度计算了ＤＭＵ的最小效率值，从而得到了ＤＭＵ的一个效率区间。但是，显然该方法增加了在ＤＭＵ排序中的难度。
此外，Ｗａｎｇ和Ｌｕｏ（下文简记为ＷＬ）则［２２］通过在生产可能集中引入虚拟的正负理想ＤＭＵ，分别计算出ＤＭＵ和正负理想ＤＭＵ的最优或最劣的相对效率值，然后将ＤＭＵ的最优（最劣）效率值与正（负）理想ＤＭＵ的效率值差额分别取代ＴＯＰ ＳＩＳ［２３］概念下的离正（负）理想解的距离，最后通过相对接近度这一综合指标得出ＤＭＵ之间的排序。尽管如此，该模型仍明显存在以下缺点：（１）评价对象到正负理想解的距离数量级不同［２４］。到正理想ＤＭＵ的距离为小于１，而到负理想ＤＭＵ的距离却大于１。（２）在评价的过程中，正负理想ＤＭＵ的地位不同。主要表现在它们的效率值不等。（３）模型以效率差额作为评价对象到正负理想点的距离，混淆了效率差额和距离这两个概念。
Ｓｈｉ［２５］等人在交叉效率模型的基础上引入了（负）理想前沿面，在确定权重时尽可能使ＤＭＵ与（负）理想前沿面的偏差最小（大）化，使得权重的计算更中立和具有逻辑性。ＤＥＡ与ＴＯＰＳＩＳ结合方法除上述外还有另一种方式。杜涛等［２６］在评价医院效率时使用ＤＥＡ方法计算出各个决策单元的松弛改进量，以松弛改进量构建ＴＯＰＳＩＳ方法的决策矩阵为决策单元排序；王钢和石奇［２７］在评价商业银行经营效率时使用了ＴＯＰＳＩＳ ＤＥＡ方法，同时借鉴了“垂足距离”的概念计算决策点到（负）理想决策点的距离；王春豪等［２８］使用了非径向超效率ＤＥＡ模型和ＴＯＰＳＩＳ效率测度模型评价中国区域公路物流的效率；Ｃｈｉｔｎｉｓ和Ｖａｉｄｙａ［２９］先使用ＤＥＡ方法出决策单元中的（负）理想决策单元，以此作为ＴＯＰＳＩＳ中的（负）理想点，计算印度银行
的效率。这类方法与本文的方法在思路上存在明显区别：在这类方法中，可以将ＤＥＡ方法视为ＴＯＰＳＩＳ方法前的某种数据预处理步骤；在本文的方法中，ＤＥＡ方法被融入到ＴＯＰＳＩＳ的方法中，成为ＴＯＰＳＩＳ方法中的一个步骤———计算当前ＤＭＵ到（负）理想ＤＭＵ的距离，成为其不可分割的一部分。
本文是在ＷＬ模型［２２］的正负理想ＤＭＵ基础上，通过引入Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数、（反）生产可能集，给出了一种结合了ＤＥＡ和ＴＯＰＳＩＳ新的有效排序方法。该方法能同时改进传统ＤＥＡ两点缺陷，以及ＷＬ模型的三点缺陷。在后文中，本文将予以详细说明。
１ ＣＣＲ效率指数与Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数
设ＤＭＵ
ｊ
的投入向量ｘ
ｊ
∈Ｒｍ
＋
和产出向量ｙ
ｊ
∈
Ｒｓ
＋
，ｊ∈Ｎ＝｛１，２，…，ｎ｝。那么，在评价ＤＭＵ
ｄ
的相对效率时，其最优ＣＣＲ效率值可由以下模型求得：
θ
ｄ
＝ｍｉｎθ
ｓ．ｔ．∑ｎ
ｊ＝１
ｘ
ｊ
λ
ｊ
θｘ
ｄ
∑ｎ
ｊ＝１
ｙ
ｊ
λ
ｊ
ｙ
ｄ
λ
ｊ
０，ｊ＝１，２，…，ｎ；θ，ｆｒｅｅ（１）
其中，θ
ｄ
是ＤＭＵ
ｄ
的最大ＣＣＲ效率值。实际上，模型（１）可以简写为：
θ
ｄ
＝ｍｉｎ｛θ｜（θｘ
ｄ
，ｙ
ｄ
）∈Ｔ
ＣＣＲ
｝（２）
其中生产可能集Ｔ
ＣＣＲ
是：
Ｔ
ＣＣＲ
＝｛（ｘ，ｙ）｜∑ｎ
ｊ＝１
ｘ
ｊ
λ
ｊ
ｘ，∑
ｎ
ｊ＝１
ｙ
ｊ
λ
ｊ
ｙ，λ
ｊ
０，ｊ∈Ｎ｝（３）Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数这一重要的概念是最早由Ｓｈｅｐｈａｒｄ［３０，３１］提出，后由Ｂａｎｋｅｒ等引入ＤＥＡ研究
领域［５］。在生产可能集上Ｔ
ＣＣＲ
，Ｓｈｅｐｈａｒｄ投入距离函数可定义为：
Ｄ
ｄ
（ｘ
ｄ
，ｙ
ｄ
）＝ｓｕｐ｛γ∈Ｒ
＋
｜（ｘ
ｄ
／γ，ｙ
ｄ
）∈Ｔ
ＣＣＲ
｝（４）显然，有以下性质：
性质１ ＣＣＲ模型的效率指数与Ｓｈｅｐｈａｒｄ的距离函数互为倒数，即：
Ｄ
ｄ
（ｘ
ｄ
，ｙ
ｄ
）＝１／θ
ｄ
（５）
性质２ Ｄ
ｄ
（ｘ
ｄ
，ｙ
ｄ
） １成立的充分必要条件
是（ｘ
ｄ
，ｙ
ｄ
）∈Ｔ
ＣＣＲ
。
在模型（１）中，若（ｘ
ｄ
，
ｙ
ｄ
）∈Ｔ，则显然有θ
ｄ
∈
（０，１］，那么Ｄ
ｄ
（ｘ
ｄ
，ｙ
ｄ
）
＝１／θ
ｄ
１，反之亦然。
７
１
１
第５期 李勇军，等：基于Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数的ＤＥＡＴＯＰＳＩＳ方法研究
２ ＤＥＡＴＯＰＳＩＳ模型
本节将以Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数为桥梁整合ＤＥＡ和ＴＯＰＳＩＳ方法。为此，本文从定义理想ＤＭＵ、负理想Ｄ
ＭＵ出发，在考虑（负）理想ＤＭＵ的条件下分别给出ＤＭＵ的（反）效率评价模型以及对应的Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数，最后给出评价对象到理想ＤＭＵ相对接近度的计算公式。其中，ＷＬ
［２２］
首先
引入了虚拟的正（负）理想ＤＭＵ的概念，本文在此基础上整理得到相关定理与性质，并引入Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数。
２．１ 离正理想ＤＭＵ的Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数
定义１
［２２］
正理想决策单元（ＩＤＭＵ）为ＤＭＵｎ＋１，则其投入要素向量和产出要素向量分别为ｘｎ＋１＝（ｍｉｎ１ ｊ ｎ
｛ｘｉｊ｝）， ｉ，ｙｎ＋１（ｍａｘ１ ｊ ｎ
｛ｙｒｊ
｝）， ｒ（６）那么，在考虑正理想ＤＭＵ条件下，评价ＤＭＵｄ
的ＣＣＲ相对效率模型为：
θ＋
ｄ
＝ｍａｘＵＴ
ｙｄ
ＶＴ
ｘｄ
ｓ．ｔ．ＵＴｙｊ
ＶＴｘｊ
１，ｊ＝１，２，…，ｎ＋１
ＵＴ，ＶＴ ０
（７）
模型（７）中，Ｕ，Ｖ是权重向量，θ＋
ｄ是ＤＭＵｄ最优相对效率值。设模型（７）对应的最优解是Ｕ Ｔｄ，Ｖ Ｔｄ。
则有以下定理：
定理１ 正理想决策单元ＤＭＵｎ＋１是所有ＤＭＵ的标杆（Ｂｅｎｃｈｍａｒｋ），即ＤＭＵｎ＋１在上述模型最优解
下的效率值恒有：θｄ
ｎ＋１
＝Ｕ Ｔ
ｄｙｎ＋１
Ｖ Ｔｄｘ
ｎ＋１＝１， ｄ∈Ｎ∪｛
ｎ＋１｝。证明 反证法：假设有θｄ
ｎ＋１＜
１。根据上述模型的不等式，显然有：θｄｊ
＝Ｕ Ｔ
ｙｊ
Ｖ Ｔｄｘ
ｊ
Ｕ Ｔｄｙｎ＋１Ｖ Ｔｄｘｎ＋１
＝θｄ
ｎ＋１＜
１，ｊ∈Ｎ＼｛ｄ｝。若令ＵＴｄ＝Ｕ Ｔｄ／θｄｎ＋１，ＶＴｄ＝Ｖ Ｔ
ｄ，
则（ＵＴｄ，ＶＴｄ）必然是模型（７）的可行解。是因为有：
θｄｊ
＝ＵＴｄｙｊＶＴｄｘｊ＜ＵＴｄｙｎ＋１ＶＴｄｘｎ＋１＝Ｕ Ｔ
ｄｙ
ｎ＋１／θｄｎ＋１Ｖ Ｔ
ｄｘｎ＋１
＝θｄｎ＋１／θ
ｄ
ｎ＋１
＝１，ｊ∈Ｎ
而在可行解（ＵＴ
ｄ
，ＶＴｄ
）下，目标函数值为θｄ′＝ＵＴ
ｄｙ
ｄ
ＶＴ
ｄｘｄ
＝Ｕ Ｔ
ｄｙｄ／θｄｎ＋１
Ｖ Ｔ
ｄｘ
ｄ
＝θ＋
ｄ／θｄｎ＋１。显然有：θｄ
′＝θ＋
ｄ／θ＋ｎ＋１
＞
θ＋ｄ。则与θ＋ｄ是模型（７）的最优值（θ＋
ｄ θｄ
′）矛盾。因此假设不成立，又因ｄ的任意性，
定理获证。依据Ｃ
—
Ｃ变换，模型（７）又可以转换为 ｍａｘｕＴ
ｙｄ
ｓ．ｔ．ｕＴｙｊ－ｖＴｘｊ
０，ｊ＝１，２，…，ｎ＋１（８）ｖＴ
ｘｄ＝１ｕＴ，ｖＴ ０
模型（８）的对偶模型可简写为：
θ＋ｄ＝ｍｉｎ｛θ｜（θｘｄ，ｙｄ）∈Ｔ＋
ＣＣＲ｝
（９）
其中Ｔ＋ＣＣＲ是包含正理想Ｄ
ＭＵ下的生产可能集，即： Ｔ
＋
ＣＣＲ
＝｛（ｘ，ｙ）｜∑ｎ＋１
ｊ＝１
ｘｊλｊ ｘ，∑ｎ＋１
ｊ＝１
ｙ
ｊλｊ ｙ，λｊ ０，ｊ＝１，２，…，ｎ＋１｝（１０）那么，依据性质１，ＤＭＵｄ到正理想ＤＭＵ（ＩＤ ＭＵ
）的Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数是：Ｄ＋ｄ（ｘｄ，ｙｄ）＝１／θ＋
ｄ
（１１）
性质３ θ＋ｎ＋１＝１，θ＋
ｄ １
，ｄ∈Ｎ。２．２ 离负理想ＤＭＵ的Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数
定义２［２２］ 负理想决策单元（ＡＤＭＵ）为ＤＭＵ０
，则其投入要素向量和产出要素向量分别为ｘｎ＋１＝（ｍａｘ１ ｊ ｎ
｛ｘｉｊ｝）， ｉ，ｙｎ＋１（ｍｉｎ１ ｊ ｎ
｛ｙｒｊ
｝）， ｒ（１２）
定义３ ＤＭＵｄ的反效率值为θ－
ｄ
＝ＶＴ
ｘｄ
ＵＴ
ｙｄ
。从公式来看，反效率值的定义与ＤＥＡ效率值
定义相反，投入要素的权重和为分子，而产出要素的权重和为分母。因此，投入要素量越大，反效率值越大，反之，产出要素量越大，反效率值越小。那么，在考虑ＡＤＭＵ条件下，评价ＤＭＵｄ的相对反效率值模型为：
θ－
ｄ
＝ｍａｘＶＴ
ｘｄ
ＵＴ
ｙｄ
ｓ．ｔ．ＶＴｘｊ
ＵＴｙｊ
１，ｊ＝０．１，…，ｎ
（１３）
ＵＴ，ＶＴ ０
模型（１３）中假设所有ＤＭＵ的反效率值小于１，类似于传统的ＣＣＲ模型中的效率值的评价。
定理２ 在反效率评估中，负理想决策单元为ＤＭＵ０是所有ＤＭＵ的标杆（Ｂｅｎｃｈｍａｒｋ）。（证明类似定理１）
上述模型可通过Ｃ－Ｃ转换后经取对偶模型可改为：
θ－ｄ＝ｍｉｎ｛θ｜（ｘｄ，θｙｄ）∈Ｔ－
ＣＣＲ｝
（１４）
其中，考虑负理想点的反生产可能集Ｔ－
ＣＣＲ为：
Ｔ
－ＣＣＲ
＝｛（ｘ，ｙ）｜∑ｎ
ｊ＝０
ｘ
ｊλｊ ｘ，∑ｎ
ｊ＝０
ｙｊλｊ
ｙ
，λｊ
０，ｊ＝０，１，…，ｎ｝（１５）８１１运 筹 与 管 理 ２０２１年第３０卷
同理，依据性质１，ＤＭＵｄ离ＡＤＭＵ的Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数为：
Ｄ－ｄ
（ｘｄ，ｙｄ
）＝１／θ－ｄ
（１６）
性质４ θ－
０
＝１，θ－ｄ
１，ｄ∈Ｎ
。根据性质３和４显然有：θ＋０＝θ－
０＝
１，即正负理想Ｄ
ＭＵ的各自效率值或反效率值是相等的，这显然改进了ＷＬ模型的缺陷（２）。
此外，根据性质３和４有：θ＋ｄ １，θ－ｄ １
， ｄ∈Ｎ，所有ＤＭＵ的效率值或反效率值均在０到１之间，因此，他们的数量级是相对的。显然，本文的模型改进了ＷＬ模型的缺陷（１）。
为了理解该反生产可能集与Ｔ＋
ＣＣＲ
，以及所构成的反效率前沿面与对应的效率前沿面的关系，我们以一个投入要素和一个产出要素为例，见图１
：
图１ 正负理想ＤＭＵ、（反）生产可能集以及
对应的（反）效率前沿面关系图
在图１中，圆圈代表ＤＭＵ，其中，理想ＤＭＵ为ＤＭＵｎ＋１，经过坐标原点Ｏ和ＤＭＵｎ＋１的实心直线就是效率前沿面，而效率前沿面和Ｘ轴夹角的区域就是对应的生产可能集。相反，负理想ＤＭＵ为ＤＭＵ０，经过坐标原点Ｏ和ＤＭＵ０虚线则是反效率前沿面，而该前沿面与Ｙ轴交角的区域就是反生产可能集。
２．３ 基于Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数与正理想ＤＭＵ的
相对接近度
根据ＴＯＰＳＩＳ定义，ＤＭＵｄ到理想ＤＭＵ的相对接近度为
ＲＣｄ＝Ｄ－
ｄ（ｘｄ，ｙｄ
）Ｄ－ｄ（ｘｄ，ｙｄ）＋Ｄ＋ｄ（ｘｄ，ｙｄ）＝θ＋
ｄ
θ＋ｄ＋θ－
ｄ
（１７）
３ 算例分析与实证
我们采用的样本数据来自于文献［７］，见表１。表１中给出了５个ＤＭＵ，每个ＤＭＵ有两种投入要素，一种产出要素。为了便于比较，由本文方法所得的排序结果以及ＷＬ、Ｗｕ模型的结果分别放在
表２的二、三、四三列。
表１ 样本数据蔡国权简介
ＤＭＵＩｎｐｕｔ１Ｉｎｐｕｔ２Ｏｕｔｐｕｔ１
ＣＣＲＳｕｐｅｒＣＣＲ
１２１２１１１２２８１１１．３１５８３５５１１１．２４１０４１１１．２５５１０６１０．７５
０．７５
ＩＤＭＵ２４１ＡＤＭＵ
１０
１２
１
首先，从ＩＤＭＵ以及ＡＤＭＵ的效率值比较来看，只有本文给定的方法下两个理想ＤＭＵ的效率值是相等的，而ＷＬ、Ｗｕ模型下的结果均不相等。因此，只有本文给出的正负理想ＤＭＵ在效率评估中的地位是对等的。其次，在对５个决策单元评价中，Ｗｕ模型下就有３个ＤＭＵ（ＤＭＵ１、ＤＭＵ４和ＤＭＵ５）的ＲＣ值均是０，因此，Ｗｕ模型的排序能力
值得商榷。而在ＷＬ模型中，θ－ｄ １而θ＋
ｄ １
，ｄ∈Ｎ
，显然这两种效率值的数量级是不同的。Ｗｕ在文中也注意到了这个缺陷，相比之下，本文方法下的两
种效率值均是大于０而小于１的。这也正好验证了性质３和４的正确性。此外，注意文献［２４］中指出ＤＭＵ１和ＤＭＵ４既在传统的效率前沿面上又在反效率前沿面上，同样在本文中，考虑ＩＤＭＵ以及ＡＤＭＵ下的效率前沿面、反效率前沿面上也均有ＤＭＵ１和ＤＭＵ４，见图２。因此，ＤＭＵ１和ＤＭＵ４是同等“有效”的，它们的排名也应该是等同的。正如本文的结果所示为ＲＣ１＝ＲＣ４＝
０．５。９
１１第５期 李勇军，等：基于Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数的ＤＥＡＴＯＰＳＩＳ方法研究
表２ 三种不同模型下的排序结果
ＤＭＵＯｕｒｍｅｔｈｏｄ
ＷＬ
Ｗｕ
θ＋
ｄ
θ－
ｄ
ＲＣｄθ＋
ｄ
θ－
ｄ
ＲＣｄθ＋
ｄθ－
ｄＲＣｄ１１１０．５０．７１４２９
１０．２４４１８０．７１４２９
０．２０２１０．６６６７０．６１１．４２１１０．５２２２４１０．３０．１３０４３３０．８０．５０．６１５３８１１．５４２９０．５６０６１０．４０．２３０７７
４１１０．５０．７１４２９１．１７３９０．３３５８５０．７１４２９０．２０５０．６６６７１
０．４
０．６２５１
０．２２８０３
０．６２５０．２
０
ＩＤＭＵ１
１．６６７
１．６６７
ＡＤＭＵ
１０．６９２０．２
在表３给出了本文方法、ＷＬ模型［２２］
、Ｗｕ模型［
２４］以及超效率模型［７］
下基于表１数据的排序相关分析。结果显示与超效率模型的相关性最强的是本文方法（相关系数值为０．８４１４７）
。
图２ 基于正负理想ＤＭＵ下的（反）效率前沿面
表３ 四种模型下排序结果的相关分析
Ｏｕｒｍｅｔｈｏｄ
ＷＬＷｕＳｕｐｅｒＣＣＲＯｕｒｍｅｔｈｏｄ
１０．９２８８５
０．８５１５８０．８４１４７ＷＬ／１０．９３３４２
０．７６３１７Ｗｕ／／１０．５１８１２
ＳｕｐｅｒＣＣＲ
／
／
／
１
４ 结论与展望
本文以Ｓｈｅｐｈａｒｄ距离函数为桥梁构建了一个基于ＤＥＡ和ＴＯＰＳＩＳ新的排序方法。该方法改进了传统ＤＥＡ理论的两个重要缺陷。此外，该方法既结合了ＤＥＡ在效率评价中不需要计算要素权重系数的优势，而又结合了ＴＯＰＳＩＳ方法在排序过程中的多角度（乐观和悲观）考察对象的优点，从而在一定程度上保证了排序结果的公正性。最后，通过具体的算例说明了该方法的有效性。因此，该方法有望为决策者提供较为有效的决策支持。
本文给出的ＤＥＡＴＯＰＳＩＳ排序方法是以ＣＣＲ模型下的生产可能集为例，该方法也可轻易推广到
ＢＣＣ模型下的生产可能集，即在公式（３）中加入
∑ｎ
ｊ＝１
λｊ
＝１约束条件。由于篇幅所限，
作者就不在此详述，感兴趣的读者不妨亲自尝试。参考文献：
［１］ＡｄｌｅｒＮ，ＦｒｉｅｄｍａｎＬ，Ｓｉｎｕａｎｙ ＳｔｅｒｎＺ．Ｒｅｖｉｅｗｏｆ
ｒａｎｋｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｉｎｔｈｅｄａｔａｅｎｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｃｏｎｔｅｘｔ［Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅａｎｊｏｕｒｎａｌｏｆｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌｒｅｓｅａｒｃｈ，２００２，１４０（２）：２４９ ２６５．［２］ＪａｈａｎｓｈａｈｌｏｏＧＲ，ＪｕｎｉｏｒＨＶ，ＬｏｔｆｉＦＨ，ｅｔａｌ．Ａｎｅｗ
ＤＥＡｒａｎｋｉｎｇｓｙｓｔｅｍｂａｓｅｄｏｎｃｈａｎｇｉｎｇｔｈｅｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓｅｔ［Ｊ］．ＥｕｒｏｐｅａｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈ，２００７，１８１（１）：３３１ ３３７．［３］ＥｍｒｏｕｚｎｅｊａｄＡ，ＹａｎｇＧＬ．Ａｓｕｒｖｅｙａｎｄａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅ
ｆｉｒｓｔ４０ｙｅａｒｓｏｆｓｃｈｏｌａｒｌｙｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｉｎＤＥＡ：１９７８～２０１６［Ｊ］．Ｓｏｃｉｏ ＥｃｏｎｏｍｉｃＰｌａｎｎｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅｓ，２０１８，６１：４ ８．［４］ＣｈａｒｎｅｓＡ，ＣｏｏｐｅｒＷＷ，ｅｔａｌ．Ｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ
ｏｆｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇｕｎｉｔｓ［Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅａｎｊｏｕｒｎａｌｏｆｏｐｅｒａ
ｔｉｏｎａｌｒｅｓｅａｒｃｈ
，１９７８，２（６）：４２９ ４４４．［５］ＢａｎｋｅｒＲＤ，ＣｈａｒｎｅｓＡ，ＣｏｏｐｅｒＷＷ．Ｓｏｍｅｍｏｄｅｌｓｆｏｒ
ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇｔｅｃｈｎｉｃａｌａｎｄｓｃａｌｅｉｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｉｎｄａｔａｅｎｖｅｌ
ｏｐｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ
［Ｊ］．Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔｓｃｉｅｎｃｅ，１９８４，３０（９）：１０７８ １０９２．［６］ＣｈａｍｂｅｒｓＲＧ，Ｆ ｒｅＲ，ＪａｅｎｉｃｋｅＥ，ｅｔａｌ．Ｕｓｉｎｇｄｏｍｉ
ｎａｎｃｅｉｎｆｏｒｍｉｎｇｂｏｕｎｄｓｏｎＤＥＡｍｏｄｅｌｓ：ｔｈｅｃａｓｅｏｆ
ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌｄａｔａ
［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｃｏｎｏｍｅｔ ｒｉｃｓ
，１９９８，８５（１）：１８９ ２０３．［７］ＡｎｄｅｒｓｅｎＰ，ＰｅｔｅｒｓｅｎＮＣ．Ａｐｒｏｃｅｄｕｒｅｆｏｒｒａｎｋｉｎｇｅｆｆｉ
ｃｉｅｎｔｕｎｉｔｓｉｎｄａｔａｅｎｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ
ｓｃｉｅｎｃｅ
，１９９３，３９（１０）：１２６１ １２６４．［８］ＮａｈｒａＴＡ，ＭｅｎｄｅｚＤ，ＡｌｅｘａｎｄｅｒＪＡ．Ｅｍｐｌｏｙｉｎｇｓｕｐｅｒ
ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙａｎａｌｙｓｉｓａｓａｎａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｔｏＤＥＡ：ａｎａｐｐｌｉｃａ
ｔｉｏｎｉｎｏｕｔｐａｔｉｅｎｔｓｕｂｓｔａｎｃｅａｂｕｓｅｔｒｅａｔｍｅｎｔ
［Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅ ａｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈ，２００９，１９６（３）：１０９７ １１０６．［９］ＡｖｋｉｒａｎＮＫ．ＡｓｓｏｃｉａｔｉｏｎｏｆＤＥＡｓｕｐｅｒ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｅｓｔｉ
ｍａｔｅｓｗｉｔｈｆｉｎａｎｃｉａｌｒａｔｉｏｓ
：ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇｔｈｅｃａｓｅｆｏｒＣｈｉｎｅｓｅｂａｎｋｓ［Ｊ］．Ｏｍｅｇａ，２０１１，３９（３）：３２３ ３３４．［１０］ＤｕＪ，ＷａｎｇＪ，ＣｈｅｎＹ，ＣｈｏｕＳＹ，ｅｔａｌ．Ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇ
ｈｅａｌｔｈｏｕｔｃｏｍｅｓｉｎｐｅｎｎｓｙｌｖａｎｉａｈｏｓｐｉｔａｌｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ：ａｎ
０２１运 筹 与 管 理 ２０２１年第３０卷
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