A12标准教程
获胜的策略
【知识点与基本方法】
对策问题主要是研究下棋、赛马、乒乓球等比赛，以及多种游戏活动。在这些活动中，参与竞争的对方都想获胜，必须考虑对方可能怎样决策，从而选出一个最好的对付策略，这称为获胜的策略。
这类问题不仅有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强。因此解答这类问题，需掌握一些相关的知识，如质数、互质数、中心对称、轴对称等，这是获得最佳对策的关键。另外，“游戏”双方胜负不仅取决于先后顺序，而且还取决于最终的局况，所以这类问题常用倒推法，从特殊到一般的方法。
【典型例题】
例1：甲乙二人抓珠子，规定最多可以抓3个，最少可以抓1个。谁抓到最后一个棋子就算输。若甲先去抓，珠子2001个，问乙是否有必胜的把握？
分析：甲乙二人都要使对方取得最后一个珠子，才能获胜。因为2001=4×500+1，可以得到乙能获胜的最佳策略：甲先抓珠子，无论抓1个、2个、3个，乙均能相应地抓出3个、2个、1个珠子，使自己取出的个数与甲保持和为4，双方在取了500次以后，剩下最后一个珠子，甲不得不取走。甲输，故乙必赢。
例2：有一种报数游戏，游戏的规则是：
（1） 两人轮流报数；
（2） 每人报的数只能是1——10中的某一个数；
（3） 谁报数后两人所报数字之和是1998，就算谁胜？
如果先让你报,你应该报几才能胜利？为什么？你获胜的策略是什么？
分析：1998=11×181+7，采取的策略是先报7，以后当对方报一个数a(1≤a≤10),你就应该报（11-a）这个数，当对方报了181次后，你必胜。
例3：盘子里有80颗珠子，甲乙二人每次轮流取走1——3粒珠子，谁能取完盘子里面的珠子
谁就获胜。如果双方都采取最佳取法。乙先取，那么获胜的一定是谁？
分析与解：因为80=4×20，当乙取任意1至3粒珠子后，甲所取之数始终与乙所取之数的和为4，两人象这样各取了19次后，还剩下4粒珠子，无论甲乙取走几粒（1——3粒），甲总能取走最后的珠子。故获胜的一定是甲。
跟踪训练
1. 在80张卡片的两面各写一个数，第一张写上1与2，第二张写上2与3，第三张写3与4……第79张写79与80，第80张写80与81，打乱卡片顺序，小华看的最后一张卡片上的数是63，试讨论在什么情况下，小华可以马上猜出63的反面是什么数？
2. 有一种报数游戏，游戏规则如下：
（1） 两人轮流报数，（2）每次报的是1——10中的某个数。
（3）谁报数后两人所报的全部数的和为2003，就能获胜。
如果让你报，你先报几才能保证获胜？为什么？获胜的策略是什么？
3. 在1992粒珠子中，两人轮流从中取走几粒，但每人每次最少取1粒，最多取4粒，取到最后1粒就算输。问：保证一定获胜的策略是什么？
4. 两个人做一种游戏，轮流报数，规则如下：报出的数大于0，小于8.把两个人报出的数加起来，谁报数后连加起来是88或者超过88谁就获胜。请你先报数，第一次报几才能获胜，为什么?获胜的策略是什么?
5. 有100支铅笔，甲乙二人玩轮流取铅笔的游戏。规定每人每次可取10根以内（包括10根）的铅笔，但是不能不取，以谁先取完为胜。如果甲先取，问是否甲一定会获胜？他怎样获胜？
秒题解析：
例1：有两堆火柴，一堆50根，一堆43根。规则为甲、乙两人轮流从中拿走一根或者几根，甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根火柴，谁就获胜。试问甲如何获胜？
分析与解：假设这两堆火柴数目相等的，那么我们发现，后取者只要根据先取者的取法，在
另一堆中取相同数目的火柴，就能保证后取者取到最后一根火柴，因此，甲应该从50根火柴中先取走50-43=7根火柴，以保证两堆火柴相同，然后在另一堆中取出与乙取的火柴的相同根数就会胜。
例2.在4×第十二秒故事大概4的方格纸上有一粒棋子，现在由A、B两人玩游戏，由A在左下角的方格开始走第一步。B接着移动这粒棋子，谁把棋子先移动到右上方，谁获胜。问谁将获胜,获胜的策略是什么？
分析：如下图所示，A走第一步即将棋子放在方格子的左下角，这时，B只要将棋子移到右上角的一格中，无论A再怎么移，B必须经过下图中打点的格子，最终B将移到右上角的格子中。故B胜。
例3：甲乙两人轮流在黑板上写以下2003个数：1、2、3……2003.甲乙二人轮流取擦黑板上的一个数（甲先擦乙后擦），如果剩下的两个数只有互质。则甲胜，否则乙胜。问谁必胜，
必胜的对策是什么？
分析与解：甲必胜，2003=1+2×1001，将2003分组。（1），（2，3），（4，5），（6，7），……，（2002，2003），首先擦去1这个数，接着当乙擦去某组中的一个，甲就相应地擦去改组中的另一个数，故剩下的最后两个数一定互质。故甲必胜。
例4：如图所示，这是一张8×8的棋盘。两人各持有若干1×2的卡片。两人轮流在棋盘上盖卡片。每人每次用一张卡片盖住相邻的两个空格，谁不出相邻的两个空格，谁就是输，你有获胜的良策吗？
分析：当对方横放这张卡片时，以AB为轴，在对称的位置上放卡片。当对方竖放卡片时，以CD为轴，在对称的位置上放卡片，按这样的策略，先放者必输，后放者必胜。
例5：
有三堆珠子。每堆分别是1、2、7个珠子。甲乙二人轮流从中取走珠子。规定：
（1） 轮流谁取，至少要取走一个珠子。
（2） 每次只能从一堆中取走珠子，取走的个数不限；也可一堆全取走。
（3） 最后一个取到珠子者获胜。
问：先取者获胜的策略是什么？
分析与解：认真思考，假设两堆珠子的数目相等，我们发现后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取走与先取者的同样的相同的数目，就能保证后取者取到最后的珠子，故先取者输。若两堆数字的数目不相等，谁先取走比另一种多出的珠子，那么剩下的两堆珠子相同，则先取者必胜。明白这一点这道理便可以迎刃而解。先取者在7个珠子为一堆的珠子中取走4
个珠子，剩下的三堆分别是1、2、3个珠子，此时无论对方怎么取，先取者可以造成两堆同样多而获胜，因此，先取者获胜。
能力拓展：
1. 分别有100颗和101颗两堆珠子。甲先乙后，可以在一堆中任意取出，但不能同时在两堆中都取出，也不能不取，规定取到最后珠子者获胜？问甲是否有获胜的把握？
2. 如图所示,它是一个3×3格的棋盘，以及10张同样大小为一个方格的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这个数，甲乙两人轮流取一张卡片放回这9个方格中的任意一格。最后甲的得分是不计中间行的上下两行的6个数的和。乙得分是不计中间列的左右两列六个数的和。得分多者为胜，试问如果让甲先取，一定获胜吗？为什么？
3. 几个“十”字排成一行，两个轮流改写“十”为“土”。每次只能改一个或相邻的两个字。谁先改得全部“土”者为胜。试问谁有必胜的把握？
4. 一张3×12的长方形格子有36个小方格，甲乙二人轮流沿着方格线的直线各剪一刀，甲将一份分为两份，选择一份给乙，乙按照同样的要求再剪，然后，送一份给甲，甲再剪，又送乙一份……如此下去，谁送给对方的仅只有一个小方格，谁就获胜。试问甲采取何种策略可以获胜？
5. 甲乙二人轮流在黑板上写这样的9个自然数：3、4、5、6、7、9、12、20。游戏的规则是：不允许在黑板上写对方数字的因数。轮到游戏无法再写数时，就为输家。若甲先写，他能获胜吗？其对策是什么？
6. A、B二人轮流报数，1、2、3、4，……，30，每人每次只能报1或2个数，例如A可以报1或者1，2。B可以接着报2或3，2，3或者3，4。这样继续下去谁报到30谁胜？获胜的策略是什么？
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