第十二章 结语: 量子力学问题
在学习了高等量子论和量子多体理论的基本内容之后, 本章从更广阔的视野来审视量子力学的基本问题, 以便对量子力学的研究领域有一个全面的了解。量子力学基本问题可以从不同角度去考察, 下面从七个方面对问题进行分析。 §12-1 按照系统的动力学性质的分类 量子力学的基本问题可分为结构问题, 结构不稳定性问题即衰变与裂变问题, 以及引起结构变化的碰撞和反应问题。结构问题是负能、结合态、间断能谱问题; 碰撞和反应问题是正能、非结合态、连续能谱问题; 结构不稳定性问题介乎二者之间, 其特点是间断能谱与连续能谱的交织与耦合, 是量子多体系统特有的现象。 从系统论的观点看, 碰撞和反应属于系统的功能, 与结构问题的关系是结构决定功能, 功能改变结构: 系统的内部结构决定了它对外界作用(碰撞)能产生什么样的反应, 而通过碰撞和反应却又能够改变系统的结构。无论结构问题, 还是碰撞和反应问题, 理论处理时都有一体问题(二体问题可化为一体问题)和多体问题之分, 其间有最难处理的少体问题。一体(二体)问题可以解析或数值求解, 多体问题可以通过平均场近似化为单体问题(独立粒子运动近似), 然后再进一步处理剩余作用引起的量子态跃迁与组态混合。除了少体问题难于处理外, 结构不稳定性问题, 强作用下的衰变与裂变问题, 以及间断能谱与连续能谱的交织与耦合问题, 也是极难处理的问题, 至今仍缺乏精确的理论方法。上述对量子力学这一问题的阐述可简要的总结于下表。 一体、二体问题：解析解或数值解 结构问题：负能、结合态、间断能谱 平均场: 化多体问题为单体问题 多体问题 独立粒子运动近似 剩余作用：量子态
跃迁与组态混合 I 结构不稳定性问题：衰变与裂变 （多体现象，间断能谱与连续能谱的交织与耦合） 一体、二体问题：数值解或解析解 碰撞-反应问题：正能、非结合态、连续能谱 化多体问题为单体问题 （功能） 平均场 光学模型：散射与吸收 二者关系: 结构决定功能, 功能改变结构 多体问题 剩余作用：转移粒子, 改变结构 §12-2 按照理论认识路线的分类 量子力学理论问题按认识路线可分为两类问题：正问题和逆问题。 量子力学的正问题是：给定系统的哈密顿量，计算出本征值问题和散射与反应问题的所有数据。上述问题的逆问题是：给出一组充分和必要的数据，构造出一个哈密顿量能产生这些数据。在本征值问题的逆问题中(只是逆问题的一个部分)，输入的数据是本征能量{和本征波函数{，它们代表问题的现象学方面，包含的信息量是非常大的。相反，由上述数据求出的哈密顿量却代表着问题的本质方面即寻自然定律的方面，自然定律支配着现象，但它包含的信息量却比较少。正问题求解的思路是演绎的，从哈密顿量出发推导出各种数据，这是一个信息量扩张的过程。而逆问题的思路则相反，是归纳的，从大量}n E }n ψ
的现象学数据抽取出自然定律——即哈密顿量，这是一个信息量压缩的过程。 量子力学的正问题的解答比起逆问题的解答来说, 要容易得多, 人们已发展出许多切实可行的求解方法, 包括结合态本征值和碰撞反应问题的求解方法; 当然, 正问题这一领域还存在一些困难问题有待人们去解决, 如前面指出的结构不稳定性问题, 间断能谱与连续能谱的交织与耦合问题, 以及强耦合非微扰处理问题等等。但是, 相比之下,
求解逆问题的理论方法发展得就不很充分, 即使对于势场问题的逆问题的求解发展出所谓反散射方法, 也多停留于理论阐述阶段, 少有对实际问题的精确解答; 然而, 近年来, 针对实际逆问题求解的需要, 发展了以唯象数据分析为补充的不完全的逆问题求解方法, 取得了一些实际的有意义的成果。正问题与逆问题的求解路线, 可简要总结于下表。
正问题：Ĥ→ 结构：{E n , ψn }
第十二秒故事大概Ⅱ 碰撞反应：⎩⎨⎧Ωd d E lJ ),(),(ϕθσδβα截面相移 ⎭⎬⎫ 演绎过程，信息扩充，本质→现象 逆问题：{E n , ψn } {}),(Ωd d E lJ βασδ截面相移 →Ĥ 归纳过程，信息压缩，现象→本质 §12-3 按照系统的量子运动方程的可积性的分类 我们将从物理学而不是从纯数学的角度讨论量子力学运动方程的可积性问题, 把量子运动方程的可积性与量子规则运动和量子无规运动紧密联系起来讨论。 量子运动可分为规则运动和无规运动两大类, 其间是两类运动并存的中间形态的广大区域; 量子无规运动的极端就是所谓的量子混沌。对这些不同的物理运动状态的数学表述就是量子运动方程的可积性, 不可积性和部分可积性。 量子规则运动的特点是系统具有完备的好量子数，波函数和能级是这些好量子数的规则函数。这种量子规则运动的动力学根源是系统的哈密顿量具有动力学对称性，这类系统自然是可积的。一般有两种情况，线性可积系统和非线性可积系统。线性系统一定是可积的，大多数非线性系统则是不可积的，但也有一些非线性系统，可通过非线性变换线性化, 也具有动力学对称性和相应的守恒的量子数，因此仍然是可积的, 描述某种规则的量子运动。 量子无规运动
的特点是除能量、角动量、宇称等基本守恒量外，系统不再具有其他好的量子数；波函数和能级，由于众多复杂状态的混杂而表现得极不规则，在极端情况下表现出GOE （高斯正交系综）的统计特征。量子无规运动的动力学根源在于粒子间的相互作用严重地破坏了系统的动力学对称性及其相应的守恒量子数, 其数学表现则是运动方程的不可积性。 量子规则运动和量子无规运动的并存与交织是一个普遍的现象, 构成量子现象的中间形态的广大区域。 既然量子规则运动与系统的动力学对称性的保持相联系，而量子无规运动与系统的动力学对称性的严重丧失相联系，而动力对称性又可以用论或代数的语言加以描述；因此，无论量子规则运动，还是量子无规运动，只要系统的代数结构知道了，就可以用代数动力学的方法加以研究。 上述讨论可概括为下表:
可积问题：完备守恒量（量子数）集：规则运动
部分可积(部分守恒量保持) 规则运动.
Ⅲ中间形态
部分不可积（部分守恒量丧失）与无规则运动的并存
→
不可积问题：守恒量（量子数）的丧失. 无规则运动极端无规则运动：混沌
§12-4 按照系统的非线性度的分类
量子力学问题按照系统的非线性度的分类的意义在于, 运动方程的非线性度的不同导致本质上不同的量子运动形态。非线性一般表示多粒子系统中粒子之间的相互作用, 耦合及反馈效应, 导致丰富多彩的结构和运动形态的形成、分化和演变。线性系统是可积的, 与规则运动相联系, 大多数非线性系统是不可积的, 与无规运动相联系。这一节的分类应与上一节分类联系起来研究。
线性系统：可积性，规则运动
可线性化的系统: 通过非线性变换化成线性系统, 规则运动
Ⅳ非线性可积系统：规则运动
→
非线性不可积系统：无规则运动极端无规则运动：混沌
§12-5 按照系统的哈密顿量的时间依赖性的分类
量子力学系统的全部动力学信息都包含在系统的哈密顿量之中。 哈密顿量包含系统三方面的信息: (1) 系
统的动力学变量即广义坐标和广义动量, (2) 系统中各个粒子(或各个动力学自由度)的惯性参数,(3) 势场和粒子之间的相互作用及其参数。如果系统是孤立的, 与外界环境没有相互作用, 则哈密顿量中的参数和势场都不显含时间, 这样的系统叫做自治系统, 自治的意思是系统内部相互作用决定系统各部分之间由于能量交换而产生的运动变化, 不受外界的干预。反之, 如果系统不是孤立的, 与外界环境有相互作用, 环境的运动变化, 可以使系统的哈密顿量中的参数和势场随时间发生变化, 这样的系统叫做非自治系统; 环境通过随时间变化的参数, 对系统实行控制和干预。非自治量子系统与下节将要讨论的人造量子系统密切相关; 在人造量子系统中, 人们通过随时间变化的人工势场或边界条件对系统进行控制和影响, 体现了人类改造自然的能力的增强。这一分类见下表:
自治系统：Ĥ与t无关, 系统自治地运动, 不受外界干预
Ⅴ
非自治系统：Ĥ=Ĥ（t）: 体现系统受环境的影响或人工的控制
§12-6 按照系统的来源的分类
随着科学技术的飞速进步, 人类对微观系统的研究和利用, 已经从大自然恩赐的粒子到人类自己创造的粒子。在核物理中, 天然的原子核同位素只有近300百种, 但目前人类可以通过加速器产生6000-7000种不
稳定的原子核。在粒子物理中, 数千种非宇宙线基本粒子, 都是人们在实验室中制造出来的。凝聚态和介观物理的情况也是如此, BEC和许多介观电路、介观器件都是人造的。因此, 目前, 人类已从研究和利用天然量子系统的时代, 进入了研究和利用人造量子系统的时代, 而且即将进入量子工程的时
代。在这一形势下, 量子力学的研究领域也应做相应的扩展与调整。
自然系统：自然界存在的量子系统
Ⅵ
人造系统：人造的量子系统
§12-7 按照系统与环境的关系的分类
严格说来, 任何系统都不能脱离开环境。即使是理想孤立的系统, 也是在真空中运动。真空也是环境, 是一种最普遍的宇宙环境, 只不过就宏观物理学的时空尺度而言, 真空是稳定的、均匀的、各向同性的(但在量子尺度却是涨落的, 真空背景的量子涨落效应的一部分已纳入了量子物理的运动学-量子化条件之中, 见前面有关章节), 平稳真空背景对一切事物的影响是以真空背景几何的Poincare变换不变性的形式出现的, 即以尺钟效应及其运动学共轭效应的形式出现的。
这里讲的环境是狭义的, 即真空背景以外的物质和物理场所构成的环境。按照系统与狭义环境的关系, 分为封闭系统与开放系统, 它们的特点列于下表。
v（Ĵ）守恒
封闭系统：与环境隔离，无能量、粒子交换；N、E、p
v（Ĵ）不守恒；Ⅶ开放系统：与环境相互作用，在动力学方面, 有能量、粒子交换；N、E、p
在统计力学方面, 有熵和信息的交换。
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