习题6−2
1. 求图6−21 中各画斜线部分的面积:
(1)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为
6
1]12[)(12231=−=−=x x dx x x A . 2300∫ 解法一x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为
0 画斜线部分在y 轴上的区间为[1, e ]. 所求的面积为
(2)
画斜线部分在 1|)()(11
=−=−=∫x x e ex dx e e A ,
0 解法二投影 1)1(|ln ln =−−=−==∫∫e e dy y y ydy A e e e . 111
(3)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[−3, 1]. 所求的面积为
332]2)3[(1
32=−−=∫−dx x x A . (4)
解 [−1, 3]. 所求的面积为
画斜线部分在x 轴上的投影区间为 332|)313()32(31323
12=−+=−+=−−∫x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:
(1) 22
1x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解:
3
88282)21222228(2020020221−−=−−=−−=∫∫∫∫dx x dx x dx x dx x x A 323cos 16402+=−=∫πtdt . 48
π
3
46)212−=−ππS . 2(2=A (2)x
y =1与直线y =x 及x =2; 解:
所求的面积为
∫=A −=−2
02ln 23)1(dx x x . e x , y =e −x 与直线x =1;
解:
所求的 (3) y =面积为
∫−+=−=−1
021)(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).
解
所求的面积为
a b e dy e A b
a y
b a y −===∫ln ln ln ln
3. 求抛物线y =−x 2+4x −3及其在点(0, −3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 过点(0, −3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x −3).
, 切线方程为y =−2x +6.
y ′=−2 x +4.
过点(3, 0)处的切线的斜率为−2两切线的交点为)3 ,2
3(, 所求的面积为 49]34(62[)]34(34[23
02332=−+−−+−+−+−−−=∫∫dx x x x x x x A . 4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2
(p p 处的法线所围成的图形的面积. 解
2y ⋅y ′=2p .
在点处, 1),2(==′p p y p y ,),2
(p p 法线的斜率k =−1, 法线的方程为)2(p x p y −−=−, 即y p x −=2
3.
),2
(p p 求得法线与抛物线的两个交点为和)3,29(p p −. 法线与抛物线所围成的图形的面积为
233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p p
p =−−=−−=−−∫. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;
(1)ρ=2a cos θ ;
解:
所求的面积为
∫∫==2221πθθ −202cos 4)cos 2(2ππθθd a d a A =πa 2. a cos 3t , y =a sin 3t ;
解
2
广州2a大学(2)x =所求的面积为
∫∫
∫===204220330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a 2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=−=∫∫.
(3)ρ=2 解
所求的面积为
a (2+cos θ ) 2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(22
1a d a d a A πθθθθθππ=++=+=∫∫. 6. 求由摆线x =a (t −sin t ), y =a (1−cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积. 解:
所求的面积为
∫∫∫−=−−==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(π
π22023)2
cos 1cos 21(a dt t t a a =++−=∫. 7. 求对数螺线ρ=ae θ(−π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积. 解
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