函数的基本性质
基础知识：
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。既是奇函数，又是偶函数。 注意：
○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系；的关系；
○3 作出相应结论：作出相应结论：
若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则，则f (x )是偶函数；是偶函数；
若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则，则f (x )是奇函数。是奇函数。 （3）简单性质：）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；轴对称；
②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶，奇´偶=奇
2．单调性数
（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；
注意：
○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。的单调区间。
（3）设复合函数y = f [g([g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g([g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g :
x →u =g(x ) 的象集：的象集：
①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f
(u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；上是增函数；
②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f
[g([g(x )]在A 上是减函数。上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：上的单调性的一般步骤：
○
1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； 2、作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；
的递减区间是的递减区间是 ；；的单调递增区间是的单调递增区间是 。。
)12+x 2
212
-+-x x 11y
y=g(x)
-4-2
y=f(x)
-2
-
40x
y
x
011
2
x x
y=
2
4
5x
x-
-
的递增区间是
的递增区间是( )
A．
.
题型六：周期问题
1、奇函数)(x f 以3为最小正周期，3)1(=f ，则)47(f 为 ( ) A.3 B.6 C.-3 D.-6
2、设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在(0,3)(0,3)内单调递增，且内单调递增，且y=f (x )的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是对称，则下面正确的结论是( ( )
(A) f (1.5)<f (3.5)<f (6.5) (B) f (3.5)<f (1.5)<f (6.5) (C) f (6.5)<f (3.5)<f (1.5) (D) f (3.5)<f (6.5)<f (1.5)
3、已知()x f 为偶函数，且()()x f x f -=+22，当02££-x 时,()x
x f 2=，则()2006f =
（ ）
A ．2006
B ．4
C ．4-
D ．
4
1 4、设)(x f 是),(+¥-¥上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10££x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于等于_______________
5、已知函数f(x)对任意实数x，都有f(x ＋m)＝－f(x)，求证:2m 是f(x)的一个周期.
6、已知函数f(x)对任意实数x，都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m 是f(x)的一个周期.
7、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.
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