2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 30arctan lim
.ln(12)
x x x
x →-=
+
(2) 设函数()y y x =由方程2
xy
x y =+所确定，则0
.x dy
==
(3)
2
.+∞
=
⎰
(4) 曲线1(21)x
y x e =-的斜渐近线方程为.
(5) 设1000230
004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥-⎢
⎥-⎣⎦
，E 为4阶单位矩阵，且1()()B E A E A -=+-则 1()E B -+=
.
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()bx
x
f x a e =
+在(,)-∞+∞内连续，且lim ()0,x f x →-∞=则常数,a b 满足 ( )
(A)0,0.a b << (B)0,0.a b >> (C)0,0.a b ≤> (D)0,0.a b ≥<
(2) 设函数()f x 满足关系式2
()[()]f x f x x '''+=，且(0)0f '=，则 ( )
(A)(0)f 是()f x 的极大值. (B)(0)f 是()f x 的极小值.
(C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点.
(D)(0)f 不是()f x 的极值，点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点.
(3 ) 设(),()f x g x 是大于零的可导函数，且'()()()'()0,f x g x f x g x -<；则当a x b << 时，有 ( )
(A)()()()()f x g b f b g x > (B) ()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b >
(D) ()()()()f x g x f a g a >
(4) 若30sin 6()lim 0x x xf x x →+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则206()lim x f x x →+为 ( ) (A)0. (B)6. (C)36. (D)∞.
(5) 具有特解123,2,3x x x
y e y xe y e --===的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( )
(A)0.y y y y ''''''--+= (B)0.y y y y ''''''+--= (C)61160.y y y y ''''''-+-= (D)220.y y y y ''''''--+=
三、(本题满分5分)
设ln(1)
(ln )x f x x
+=
，计算()f x dx ⎰. 四、(本题满分5分)
设xoy 平面上有正方形{}
(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线:(0)l x y t t +=≥.若()S t 表示正方形
D 位于直线l 左下方部分的面积，试求0(),(0)x
S t dt x ≥⎰.
五、(本题满分5分)
求函数2
()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(0)(3)n
f n ≥.
六、(本题满分6分)
设函数0
()|cos |x
S x t dt =
⎰
，
(1)当n 为正整数，且(1)n x n ππ≤≤+时，证明2()2(1)n S x n ≤<+； (2)求()
lim
x S x x
→+∞.
七、(本题满分7分)
某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V ，流入湖泊内不含A 的水量为6
V
，流出湖泊的水量为
3
V
，已知1999年底湖中A 的含量为05m ，超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过0m
V
.问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量降至0
m 以内(注：设湖水中A 的浓度是均匀的)
八、(本题满分6分)
设函数()f x 在[]0,π上连续，且
()0,()cos 0f x dx f x xdx π
π
==⎰
⎰，试证明：在(0,)π 内至少存在
两个不同的点12,ξξ，使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分7分)
已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式
(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+
其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程.
十、(本题满分8分)
设曲线2
(0,0)y ax a x =>≥与2
1y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2
y ax =围成一平面图形.问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、(本题满分8分)
函数()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =且满足等式
01()()()0,1
x
f x f x f t dt x '+-
=+⎰ (1)求导数()f x '；
(2)证明：当0x ≥时，成立不等式()1x
e f x -≤≤成立
十二、(本题满分6分)
设11012,,0,,2180T T
A B αβγαββα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪
考研满分多少⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.其中T β是β的转置，
求解方程2
2
4
4
2B A x A x B x γ=++
十三、(本题满7分)
已知向量组12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭与向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
具有相同的
秩，且3β可由123,,ααα线性表出，求,a b 的值.
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题 (1)【答案】16-
【详解】()
()
()
3
3
ln 12222323
220
0001
1arctan arctan 11lim
lim lim lim 266ln 1261x x x x x x x x x x x x x x x
x x +→→→→----+=
===-++洛
(2)设函数()y y x =由方程2xy
x y =+所确定，则0
.x dy
==
【答案】(ln 21)dx - 【详解】 方法1：对方程2
xy
x y =+两边求微分，有
2ln 2().xy xdy ydx dx dy ⋅+=+
由所给方程知，当0x =时1y =. 将0x =，1y =代入上式，有ln 2dx dx dy ⋅=+. 所以，0(ln 21)x dy dx ==-.
方法2：两边对x 求导数，视y 为该方程确定的函数，有
2ln 2()1.xy xy y y ''⋅+=+
当0x =时1y =，以此代入，得ln 21y '=-，所以0(ln 21)x dy dx ==-. (3)【答案】
3
π 【详解】由于被积函数在2x =处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.
2
,22,t x t dx tdt =-==
022
02122arctan .(9)33323t t dt t t ππ+∞
+∞
+∞==⋅=⋅=+⎰
⎰
(4)【答案】21y x =+
【公式】y kx b =+为()y f x =的斜渐近线的计算公式：(
)
()
lim
,lim [()]x x x x x x y
k b f x kx x →∞
→∞→+∞→+∞
→-∞
→-∞==-
【详解】1
1lim lim (2)2,x x x y k e x x
→+∞→+∞==-=
1
0122lim (2)lim[(21)2]lim()u u
x
x u x e b y x x e x u e x u
+→+∞→→+∞-=-=--= - 令
002(1)2lim()1lim()211u u u u u u e u e e u e u u
++
→→-=- - -=-= 所以，x →+∞方向有斜渐近线21y x =+. 当x →-∞时，类似地有斜渐近线21y x =+.
总之，曲线1(21)x
y x e =-的斜渐近线方程为21y x =+.
(5)【答案】1000120
00230003
4⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥-⎢
⎥-⎣⎦
【详解】先求出1
()E B -+然后带入数值，由于1
()()B E A E A -=+-，所以
11
11
1()()()()()()()1
2()()2
2000100
024001
200104600230200680
034E B E E A E A E A E A E A E A E A E A -----⎡⎤+=++-⎣⎦
⎡⎤=++++-⎣⎦
⎡⎤=+=+⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥ ==
⎢⎥⎢⎥
-
-⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦
－１
－１
－１
二、选择题 (1)【答案】D
【详解】排除法：
如果0a <，则在(,)-∞+∞内()f x 的分母bx a e +必有零点0x ，从而()f x 在0x x =处不连续，与题设不符.不选()A ，若0b >，则无论0a =还是0a ≠均有lim (),x f x →-∞
=∞与题设lim ()0x f x →-∞
=矛盾，不选()
B 和()
C .故选()
D .
(2)【答案】C
【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 出具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么：(1) 当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极大值；
(2)当0()0f x ''<；时，函数()f x 在0x 处取得极小值；
【详解】令等式2
()[()]f x f x x '''+=中0x =，得[]2
(0)0(0)0f f '''=-=，无法利用判断极值的第二充分
条件，故无法判断是否为极值或拐点.
再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：
[]2
()(())12()()f x x f x f x f x ''''''''=-=-
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