2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）
（1）＝______．
【答案】
【考点】洛必达法则
【难易度】★★
【详解】解析：方法一：
方法二：使用洛必达法则计算
.
（2）设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为______．
【答案】
【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线
【难易度】★★
【详解】解析：在等式两边对x求导,得
将代入上式,得故所求法线方程为即 x−2y+2=0.
（3）＝_______．
【答案】
【考点】定积分的换元法
【难易度】★★
【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.
在区间上,是奇函数,是偶函数,
故
（4）过点且满足关系式的曲线方程为______．
【答案】
【考点】一阶线性微分方程
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
原方程可改写为
两边直接积分,得
又由解得
故所求曲线方程为：
方法二:
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
解得
考研满分多少又由解得
故曲线方程为：
（5）设方程有无穷多个解，则a＝______．
【答案】
【考点】非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
可见,只有当a =−2 时才有秩对应方程组有无穷多个解.
方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式为零,即有解得或.
由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当时,原方程无解,因此只能是.
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（1）设则等于（ ）
（A）0． （B）1．
（C） （D）
【答案】B
【考点】复合函数
【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。
解析：由题易知，所以，，选B.
（2）设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（ ）
（A）1． （B）2． （C）3． （D）4．
【答案】B
【考点】无穷小量的比较
【难易度】★★
【详解】解析：由题易知:
（3）曲线的拐点个数为（ ）
（A）0． （B）1． （C）2． （D）3．
【答案】C
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】解析：
由得，或，带入，故有两个拐点.
（4）已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且，则（ ）
（A）在和内均有．
（B）在和内均有．
（C）在内，，在内，．
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