考研数学一历年真题完整版
2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)0
⎰=_____________.
(2)曲面2
222321
x
y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为
_____________.
(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312
112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
无解，则a =
_____________.
(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =_____________.
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设
()
f x 、()
g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0
f x
g x f x g x ''-<，则当a x b <<；时，有
(A)()()()()f x g b f b g x >
(B)()()()()f x g a f a g x >
(C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设2
2221
:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部
分，则有
(A)1
4S
S xdS xdS =⎰⎰⎰⎰ (B)1
4S
S ydS xdS
=⎰⎰⎰⎰
(C)1
4S
S zdS xdS =⎰⎰⎰⎰
(D)1
4S
S xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰
(3)设级数1
n n u ∞
=∑收敛，则必收敛的级数为
(A)
1
(1)n
n
n u n ∞
=-∑ (B)2
1
n n u ∞
=∑
(C)21
21
()
n n n u
u ∞
-=-∑ (D)11
()
n
n n u
u ∞
+=+∑
(4)设n 维列向量组1
,
,()
m m n <αα线性无关，则n 维列
向量组1
,
,m
ββ线性无关的充分必要条件为
(A)向量组1
,,m
αα可由向量组1,
,m
ββ线性表示
(B)向量组1
,
,m ββ可由向量组1
,
,m
αα线性表示 (C)向量组1,
,m
αα与向量组1
,
,m
ββ等价
(D)矩阵1
(,
,)
m =A αα与矩阵1
(,
,)
m =B ββ等价
(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为
(A)()()E X E Y = (B)2
222()[()]()[()]E X
E X E Y E Y -=-
(C)2
2()()
E X E Y =
(D)2
222
()[()]()[()]E X
考研满分多少E X E Y E Y +=+
三、(本题满分6分) 求142e
sin lim().1e
x
x x
x
x
→∞
++
+
四、(本题满分5分)
设(,)()x x
z f xy g y y
=+，其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数，求2.z
x y
∂∂∂
五、(本题满分6分) 计算曲线积分22
4L xdy ydx I x y -=+⎰，其中L 是以点(1,0)为中
心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面
,
S 都有2()()e
0,
x
S
xf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰其中函数
()
f x 在
(0,)
+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1,x f x +
→=求()f x .
七、(本题满分6分) 求幂级数
113(2)
n
n n
n x n ∞
=+-∑的收敛区间，并讨论该区间
端点处的收敛性.
八、(本题满分7分)
设有一半径为R 的球体0
,P 是此球的表面上的
一个定点，球体上任一点的密度与该点到0
P 距离
的平方成正比(比例常数0k >)，求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数()f x 在[0,]π上连续，且0
()0,()cos 0.
f x dx f x xdx π
π
==⎰
⎰试证：在(0,)π内至少存在两个不同的点1
2
,,ξξ使1
2
()()0.f f ξξ==
十、(本题满分6分)
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