2005年数学一试题分析、详解和评注
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线 的斜渐近线方程为
【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
【详解】 因为a=，
，
于是所求斜渐近线方程为
【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】
（2） 微分方程满足的解为.
【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：
，
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】 原方程等价为
，
于是通解为
=，
由得C=0，故所求解为
【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为
，即 ，两边积分得
，
再代入初始条件即可得所求解为
完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154
（3）设函数，单位向量，则=.
【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量}的方向导数为：
因此，本题直接用上述公式即可.
【详解】 因为 ，，，于是所求方向导数为
=
【评注】 本题若=非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为：
.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.330【例12.30】
（4）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.
【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.
【详解】
=
.
【评注】 本题属基本题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算，均应特别注意计算的准确性，主要考查基本的计算能力.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.325【例12.22】
（5）设均为3维列向量，记矩阵
，，
如果，那么 2 .
【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有
=，
于是有
【评注】 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若
，
，
，
则有
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例1.5】
（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则
= .
【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】 =+
++
=
【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是考查的重点.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）考研满分多少P.492【例1.32】
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）设函数，则f(x)在内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]
【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.
【详解】 当时，；
当时，；
当时，
即 可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).
【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.56【例2.20】
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ]
【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且
当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.
方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).
【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例1.5~1.7】
（9）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有
(A) . （B） .
(C) . (D) . [ B ]
【分析】 先分别求出、、，再比较答案即可.
【详解】 因为，
，
于是 ，
，
，
可见有，应选(B).
【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可取，则，容易验算只有成立，同样可到正确选项(B).
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.267【例10.16】及习题十（第11题）
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