云南省曲靖市2023-2024学年高二下学期学业水平检测数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是（）
A ．等边三角形的边长a 与其面积s
B ．匀速直线行驶的电车的位移s 与行驶时间t
C ．杂交水稻植株的高度h 与土壤湿润度r
D ．汽车在陆地上的刹车制动时间t 与洞庭湖湖面上的空气阻力f 2．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为π
,,,,2,13
a b c A b c ===，则CA AB ⋅= （）
A ．
B C ．1
-D ．1
3．已知集合{}{}1,0,1,2,3,93,,x m
A B x m x =-=>∈∈R R ，若A B ⋂有且仅有3个不同元素，
则m 的值可以为（）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．6
1
x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为（
）A ．240B ．120
C ．64
D ．84
5．若方程1
2π1cos 232x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
在区间()0,m 上有5个不相等的实数根，
则m 的取值范围为（）
A ．22π,9π3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．10π,10π3⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．23π,9π4⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．26π,10π3⎛⎤
⎥⎝⎦6．函数()22e e e x x x
x
f x +=+的极值点为（
）
A ．0
B ．1
C ．1
-D ．e
7．云南昆明有很多闻名的旅游景点，某公司的两名同事计划今年国庆节期间前往昆明去感受西双版纳大地的风光与文化，都准备从官渡古镇、滇池、翠湖公园、云南民族村4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．若在两人中至少有一人选择翠湖公园景点的条件下，两人选择的景点不同的概率为（）
A ．
5
8
B ．1
2
C ．
34
D ．
67
8．在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线ln x
y x
=上位于第一象限内的一点，N 为M 在x 轴上的射影，则sin MON ∠的最大值为（）
A
B
C ．
1e
D ．
12e
二、多选题
9．已知,a b 均为正数，则使得“a b >”成立的充分条件可以为（）
A ．
11a b
<B ．34
a b ->-C ．22a b b ab a
+>+D ．()()
22
ln 2024ln 2024
a b +>+10．设方程210x x -+=的两根12,x x 在复平面内对应的点分别是12,X X ，则（
）
A ．12x x -的实部为0
B ．12,X X 关于y 轴对称
C ．121
x x ==D ．12211
x x x x +=-11．设数列{}n a 满足11a =，且当2n ≥时，11,,n n n na n a a n n --⎧⎪
=⎨⎪⎩
为奇数为偶数，则（
）
A ．332
a =
B ．*
212
n n a ∀∈≤
N ，C ．22C ,4n
n
n n n a *
∃∈>N D ．*
2132n
n n a +⎛⎫
∀∈≤ ⎪
⎝⎭
N ，三、填空题
12．若一个半径为3
cm 2
的球和一个上，下底面边长分别为1cm 和2cm 的正四棱台的体积相
同，则正四棱台的高为云南景点
cm ．
13．已知某果园中猕猴桃单果的质量M （单位：g ）服从正态分布()2
100,N σ，若从该果
园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于100g 的概率为
.
14．已知椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点分别为12,,,F F P Q 在椭圆上且关于原点对称，则
22
14PF QF +的最大值与最小值之和为．
四、解答题
15．近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入x （亿元）与经济收益y （亿元）的数据，统计如下：研发投入/x 亿元12345经济收益/y 亿元
2.5
4
6.5
9
10.5
(1)求相关系数r ；（保留3位小数）
(2)求出y 关于x 的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益．
参考数据：5
5
22
22
1
1
510,521.1i
i i i x x
y y ==-=-=≈∑∑．
附：相关系数n
i i
x y nx y
r -=
∑，线性回归方程的斜率1
2
21
n
i
i
i n
i
i x y
nx y b
x
nx
==-=-∑∑ ，截距
a y bx =-$$．
16．已知动点(),P x y 到定点()2,0F 的距离与动点P 到定直线2x =-的距离相等，若动点P 的轨迹记为曲线C ．(1)求C 的方程；
(2)不过点F 的直线与C 交于,A B 两点，且6AF BF +=，若AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，证明：N 为定点．
17．记正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，已知3n n n n a T a T -=.(1)求{}n T 的通项公式；
(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，证明：13n n S n ->-+.
18．已知函数()log (1)a x
f x x a a
=->．
(1)若()f x 只有一个零点，求a 的值；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln a x x a
+>
．19．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个
面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，
有著名的欧拉公式：2n e f -+=，其中n 为顶点数，e 为棱数，f 为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，12,6e f ==，可以得到顶点数8n =.
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：n 个顶点的凸多面体，至多有36n -条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
答案第1页，共13页
参考答案：
1．C
【分析】根据变量间的相关关系的定义求解．
【详解】解：A ．等边三角形的边长a 与其面积s
的关系为2
s =，两个变量是函数关系，不符合题意；
B ．匀速直线行驶的电车的位移s 与行驶时间t 的关系为s vt =，两个变量是函数关系，不符合题意；
C ．杂交水稻植株的高度h 与土壤湿润度r 具有相关关系，符合题意；
D ．汽车在陆地上的刹车制动时间t 与洞庭湖湖面上的空气阻力f 不具有相关关系，不符合题意．故选：C ．2．C
【分析】利用三角函数诱导公式cos()cos A A π-=-及定义法求向量数量积．【详解】解：ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3
A π
=，2b =，1c =，则
cos()cos 1CA AB CA AB A bc A π⋅=⋅-=-=- ，故选：C ．3．A
【分析】先求出集合B ，然后结合集合的交集运算即可求解．
【详解】因为集合{}{}11,0,1,2,3,93,,2x m
A B x m x x x m ⎧⎫=-=>∈∈=⎨⎬⎩
⎭R R ，
若A B ⋂有且仅有3个不同元素，则这3个元素为3，2，1，
故1
12102m m ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩
，即02m ≤<．故m 可取1，故选：A ．4．A
【分析】给出通项公式()3362
16
C 12
k k
k
k
k T x
-
-+=⋅-⋅，令3302
k
-
=，即可求解．
【详解】解：二项式展开式通项公式为：(()3636216
61C C 12k
k k
k k k
k k T x x ---+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭
，
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