安徽省合肥一中等六校教育研究会2024学年下学期高三年级期末考试（联考卷）数学试
题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中
点，则下列结论中错误的是（ ）
八省联考A ．11//FM AC ，
B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11C
C
D D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值
2．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[)4+∞，
B ．[]06，
C ．[]04，
D ．[)6+∞，
3．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）
A ．247.79m
B ．254.07m
C ．257.21m
D ．2114.43m
4．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是
A ．M
N N = B ．()U M N =∅ C ．M N U = D ．()U M N ⊆
6．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，
，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）
A ．38m =，12n =
B ．26m =，12n =
C ．12m =，12n =
D ．24m =，10n =
7．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ）
A ．c a c b -<-
B ．22ac bc >
C ．11a b <
D ．1b a < 8．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．
A ．440x y --=
B ．440x y +-=
C ．440x y ++=
D ．440x y -+=
9．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）
A ．该市总有 15000 户低收入家庭
B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户
C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户
D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户
10．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b
-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214
c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．52 C ．3 D ．2
11．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()
A B =R （ ） A ．(0,2) B ．(1,2] C ．[0,1] D ．(0,1]
12．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取
3 1.732≈）
，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A ．20
B ．27
C ．54
D ．64
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，2a =
3sin A =，6b ，则ABC 的面积为__________. 14．已知230
x dx n =⎰，则(1)n x y ++展开式中2x y 的系数为__ 15．已知椭圆22
122:1x y C a b +=()0a b >>与双曲线22
222:1x y C m n
-=()0,0m n >>有相同的焦点1F 、2F ，其中1F 为左焦点.点P 为两曲线在第一象限的交点，1e 、2e 分别
为曲线1C 、2C 的离心率，若12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，则21e e -的取值范围为________.
16．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，AB=PA ＝4，E 是PA 的中点，AC ，BD 交于点O .
（1）求证：OE ∥平面PBC ；
（2）求三棱锥E ﹣PBD 的体积.
18．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P ，若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；
（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B 在x 轴异侧）满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值. 19．（12分）已知数列{}n a 满足
112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求证：数列1{}n
a 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和为n S ，+114
n n n n b a a S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足1294PF PF ⋅=
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线1l 与2l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间），是否存在直线2l ，使得直线1l ，2l ，,PM PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程，若不能，请说理由.
21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是3(13x tcos t y tsin ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），曲线C 的参数方程是
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