函数的性质——单调性
教学目的 使学生了解增函数、减函数的概念;掌握判断函数增减性的方法步骤；
重点难点 重点：函数的单调性的有关概念；
难点：证明或判断函数的单调性
一、增函数与减函数
⒈ 增函数与减函数定义：对于函数fx的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1;x2.
⑴若当x1<x2时;都有fx1<fx2;则说fx在这个区间上是增函数
⑵若当x1<x2时;都有fx1>fx2;则说fx 在这个区间上是减函数
说明：函数是增函数还是减函数;是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数;而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2;当x∈0;+时是增函数;当x∈-;0时是减函数.
⒉ 单调性与单调区间
若函数y=fx在某个区间是增函数或减函数;则就说函数y=fx在这一区间具有严格的单调性;这一区间叫做函数y=fx的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上;增函数的图象是上升的;减函数的图象是下降的.
说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数;忽略需要任意取值这个条件;就不能保证函数是增函数或减函数;例如;图5中;在x1;x2那样的特定位置上;虽然使得fx1<fx2;但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；
⑶除了严格单调函数外;还有不严格单调函数;它的定义类似上述的定义;只要将上述定义中的“fx1<fx2 或fx1>fx2 ”改为“fx1fx2 或fx1fx2”即可；
⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增;自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上;若单调函数的图象上升;则为增函数;图象下降则为减函数.
⒊ 例题
例1 图6是定义在闭区间-5;5上的函数y=fx的图象;根据图象说出y=fx的单调区间;以及在每一单调区间上;函数y=fx是增函数还是减函数.
练习：1、函数的增减性的正确说法是：
A．单调减函数 B.在上是减函数;在上是减函数
C. 在是减函数;在是减函数 D.除点外;在上是单调递减函数
二次函数的单调性：对函数;
当时函数在对称轴的左侧单调减小;右侧单调增加；
当时函数在对称轴的左侧单调增加;右侧单调减小；
例：讨论函数在-2;2内的单调性..
二、函数单调性的证明步骤：
① 任取x1;x2∈D;且x1<x2；
② 作差fx1－fx2；
③变形通常是因式分解和配方；
④定号即判断差fx1－fx2的正负；
⑤下结论即指出函数fx在给定的区间D上的单调性．
例1、证明函数在1;+∞上为减函数．
例2、证明函数在R上是单调减函数..
练习1 证明函数fx=1/x函数单调性在0;+上是减函数.
练习2 试判断函数在上的单调性并加以证明..
例 已知函数fx＝ a>0在2;＋∞上递增;求实数a的取值范围．
三、复合函数单调性
对于函数y＝fu和u＝gx;如果u＝gx在区间a;b上具有单调性;当x∈a;b时;u∈m;n;且y＝fu在区间m;n上也具有单调性;则复合函数y＝fgx在区间a;b具有单调性的规律见下表：
例：函数的单调减区间是
A. B. C. D.
求函数单调区间复合函数
1.函数的单调区间是
A．-;+ B.-;0 1;;
C.-;1 、1; D. -;11;
2. 下列函数中;在区间0;2上为增函数的是 .
A． B． C． D．
3．函数的增区间是 ..
A．-3;-1 B．-1;1 C． D．
4、已知函数;判断在区间〔0;1〕和1;+上的单调性..
五、函数单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值值域..
例 1若函数在上单调递增;在上单调递减;求其实数的取值；
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