函数的单调性知识点及例题解析
函数的单调性知识点及例题解析
知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）
知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）
（1） 定义法（基本法）；
①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；②作差：()()21x f x f -；
③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；
⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.
（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）
（3）  利用函数的图像；x y =，2-=x y ，2
12-+=x y . （4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；
①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；  如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.
上述规律可概括为“同增，异减”
知识点三：函数单调性的应用
利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；
附加：①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数；
②()0≠=k x
k y 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,； ③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛
-∞-a b 2,，增区间⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； ④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反；
⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；
⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则
()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）
函数；
1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？
分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增
解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，
∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．
2.函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（）
函数单调性
A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减
分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可
解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C
3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．
分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和
图象之间的关系进行求解即可
解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，
则[-1，0]，[1，2]上为增函数，
即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，
函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]
2）由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，
即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]
4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围
分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，
左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可
解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥1
5.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围
分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），
根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.5
6.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围
分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，
所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]
7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间
分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性
与单调区间．
解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增
函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）
8.求函数f （x ）=x 4﹣2x 2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值
分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x 2，可得0≤t ≤4，根据二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=
（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g （t ） 在区间[0，4]上的最值．
解：令t=x 2，由﹣2≤x ≤2，可得0≤t ≤4，由于二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=t 2﹣2t+5=（t ﹣1）2+4 的对
称轴为t=1，则函数g （t ） 在区间[0，4]上的最大值是g （4）=13，最小值为 g （1）=4，故答案为 13，4．
9.
证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数
分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答 证明：任取x 1，x 2∈[﹣2，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21+x －22+x  =22)
22)(22(212121+++++++-+x x x x x x =22212
1+++-x x x x ，
因为x 1-x 2＜0，21+x +22+x ＞0，
得f （x 1）＜f （x 2）所以函数
在[﹣2，+∞）上是增函数． 10.函数f （x ）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；
②求f （x ）在[3，5]上最大值和最小值
分析：①分离常数得到f （x ）=，根据反比例函数的单调性便可看出f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x 1，x 2≠﹣1，且x 1＜x 2，然后作差，通分，说明x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1），或x 1，x 2∈（﹣1，+∞）上时都有f （x 1）＜f （x 2），这样即可得出f （x ）的单调区间；
②根据f （x ）的单调性便知f （x ）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f （x ）的值域，从而可以得出f （x ）在
[3，5]上的最大、最小值．
解：①f （x ）=112++x x =11)1(2+-+x x =2-1
1+x ； 该函数的定义域为{x|x ≠﹣1}，设x 1，x 2∈{x|x ≠﹣1}， 且x 1＜x 2，则：f （x 1）- f （x 2）=
112+x -111+x =)1)(1(2121++-x x x x ； ∵x 1＜x 2；∴x 1﹣x 2＜0；∴x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1）时，x 1+1＜0，x 2+1＜0；
x 1，x 2∈（﹣1，+∞）时，x 1+1＞0，x 2+1＞0；∴（x 1+1）（x 2+1）＞0；∴f （x 1）＜f （x 2）；
∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）； ②由上面知f （x ）在[3，5]上单调递增；∴f （3）≤f （x ）≤f （5）；∴7／4≤f （x ）≤11／6；∴f （x ）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／4
11.已知f （x ）+2f （
x
1）=3x ．（1）求f （x ）的解析式及定义域；（2）指出f （x ）的单调区间并加以证明 解：（1）由 f(x)+2f(x 1)＝3x ①，用x 1代替x ，得 f(x 1)+2f(x)＝x 3 ②；②×2-①，得 3f(x)＝x
6-3x ，所以 f(x)＝x
2-x （x ≠0） （2）由（1），f(x)＝x 2-x （x ≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间． 事实上，任取x 1，x 2∈（-∞，0）且x 1＜x 2，
则f(x 1)-f(x 2)＝12x -x 1-2
2x +x 2＝2121)(2x x x x --(x 1-x 2)＝(x 2-x 1)• 21212x x x x +， ∵x 1＜x 2＜0∴x 2-x 1＞0，x 1x 2＞0，2+x 1x 2＞0，
所以 (x 2-x 1)• 2
1212x x x x +＞0，即f （x 1）＞f （x 2）故f （x ）在（-∞，0）上递减． 同理可证其在（0，+∞）上也递减 12.证明：f （x ）=x+
21-x 在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数 分析：利用函数单调性的定义证明．
证明：设任意的x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，
则f （x 1）﹣f （x 2）=（x 1+211-x ）-（x 2+2
12-x ）=（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ， ∵x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1﹣2＞1，x 2﹣2＞1，（x 1﹣2）（x 2﹣2）＞1，
∴（x 1﹣x 2）•
)
2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数． 同理可证，f （x ）=x+2
1-x 在（2，3]上是减函数 【例6】讨论函数＝＋
的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x  解  定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2． ∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221-
∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．
当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．
根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，
当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．
由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
函数y ＝|x 2－2x －3|的单调增区间是________．
【解析】 y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|，
作出该函数的图像(如图)．
由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．

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