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怎样讨论含参函数的单调性
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如何解决与函数单调性相关的参数问题
陈今碧
函数是高考必考的内容之一，也是众多知识的交汇点之一。在解答题里面，经常看见有关讨论含参数函数的单调性或者求含参数函数的最值的问题。学生们常感到不知道怎么讨论，即分类讨论的标准不明确。本文根据作者的教学经验，归纳出了比较系统和实用的方案供读者参考，不当之处敬请读者指正。
1.讨论含参函数的单调性：
先设y=fx,x∈A,令y'=f'x,a=0,解出x0,
令x0∉A，求出x0的范围，再依以下顺序讨论：
1°看f'x=0在定义域内是否有解.若无解，则f'x定号，否则进入2°.
2°若有解，则比较跟的大小.
例1.讨论函数y=ax2-2x+1,x∈-1,1的单调性.
函数单调性解:1°当a=0时:y=-2x+1在-1,1↗
2°当a>0时:函数的对称轴为x=1a>0
1)当0<1a≤1即a≥1时:y在-1,1a↘,1a,1↗
2)当1a>1即0<a<1时:y在-1,1↘,
3°当a<0时:,函数的对称轴为x=1a<0
1)当-1≤1a<0即a≤-1时:y在-1,1a↗,1a,1↘
2)当1a<-1即-1<a<0时:y在-1,1↘.
综上…
例2.讨论fx=1+x1-xe-axa>0的单调性.
解:定义域为:xx≠1,f'x=ae-ax1-x2x2+2-aa,令2-aa≥0得:0<a≤2
1°当0<a≤2时:∵x2≥0,2-aa≥0∴f'x≥0∴y=fx在-∞,1↗,1,+∞↗
2°当a>2时:令f'x=0得x1=-a-2a,x2=a-2a
a>2→0<1a<12→-1<-2a<0→0<1-2a<1→a-2a<1→x2<1
列表得:
综上…
练1.讨论f'x=ax3+3x+1的单调性.
解:1°当a≥0时:y=fx在R↗;
2°当a<0时:y=fx在-∞,--1a↘,--1a,-1a↗,-1a,+∞,↘.
练2.讨论f'x=x+ax的单调性.
解:1°当a≤0时:y=fx在-∞,0↗,0,+∞↗;
2°当a>0时:y=fx在-∞,-a↗,-a,0↘,0,a↘,a,-∞↗.
2.求含参函数的值域（最值）：
依以下顺序讨论：1°先讨论单调性（整个有意义的区间），
2°再讨论极值点与定义域的关系.
例6.求值域：1)y=2x2-ax-3,x∈-1,1;2)y=x2-a+1x+1ex,x∈-1,1.
解：1)函数的对称轴为：x=a4，结合图像可知：
1°当a4<-1即a<-4时:fmaxx=f1=-a-1,fminx=f-1=a-1;
2°当-1≤a4<0即-4≤a<0时:fmaxx=f1=-a-1,fminx=fa4=-18a2-3;
3°当0≤a4<1即0≤a<4时:fmaxx=f-1=a-1,fminx=fa4=-18a2-3;
4°当a4≥1即a≥4时:fmaxx=f-1=a-1,fminx=f1=-a-1.
2)令y'=x+1x-aex=0,得：x==-1或x=a
1°当a≤-1时：y'>0⇒y在-1,1↗⇒y∈f-1,f1=a+3e,1-ae;
2°当a≥1时：y'<0⇒y在-1,1↘⇒y∈f1,f-1=1-ae,a+3e;
3°当-1<a<1时：列表如下：
∴ymin=1-aea,ymax=maxa+3e,1-ae=M⇒y∈1-aea,M.
综上所述：……
注：当-1<a<1时:还可因1-ae与a+3e的大小关系,进一步分类讨论为：
1°当-1<a≤e2-3e2+3时：y∈1-aea,1-ae;
2°当e2-3e2+3<a<1时：y∈1-aea,a+3e.
总结：含参函数求值域，最核心的是讨论其单调性，讨论的顺序为：
1)先讨论y’=0在定义域内是否有解；2）再讨论有几解；3）再讨论解的大小；
4）最后比较极值与区间端点值(有时是极限值)的大小，进而求出函数的值域.
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