解函数的单调性时需注意的几个概念
刘长柏
函数的单调性是函数的一个很重要的性质，也是历年高考命题的重点。但是不少同学由于对概念认识不足，审题不清，在解答这类题时容易出现错解。下面对做这类题时需注意的事项加以说明，以引起同学们的重视。
一、应用定义证明，要注意步骤的严密性
例1. 证明函数在R上是减函数。
解：任取，且，则
∵
∴
∴函数在R上是减函数。
提示：有的同学证明时，没有说明，就直接说，这个过程不能省。
二、对函数单调性的概念理解不正确
例2. 若，且tanα＜cotβ，则有（ ）
A. B.
C. D.
错解：因为，所以，故选B。
剖析：∵
∴。显然，不在同一单调区间，故此时不能使用函数的单调性。
正确解法：∵
∴，由题意知，，又在上单调递增，故选C。
三、研究函数的单调性千万不要忘记函数的定义域
例3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. (3，＋) C. (－，1] D. （－，－1）
错解：∵令时，t为增函数，而y＝lgt在上是增函数，
∴函数的单调增区间是[1，＋）。故选A。
剖析：此题除注意两个函数的单调性外，函数的定义域也不要忘记。
正确解法：此函数的定义域为（－，－1）。
令
∵y＝lgt在上是增函数，，而的单调增区间为（3，＋），
∴选B。
例4. 已知函数，如果，则实数a的取值范围是__________。
错解：由题意知f(x)是奇函数且在（－1，1）上单调递增，又由，得，因此，，即或。
剖析：忽略了复合函数的定义域，从而导致解题错误。
正确解法：由题意知f(x)是奇函数且在（－1，1）上单调递增，又由，得
则，解得。
四、混淆“函数的单调区间”与“函数在某一区间单调”
例5. 函数时单调递减，求a的取值范围。
错解：∵函数时单调递减，
函数单调性 ∴－a＝1，即a＝－1。
剖析：错把函数在时单调递减理解为函数单调递减区间是（－，1]。事实上，当－a≥1时，函数在（1，－a]上也递减。“函数在某一区间单调”与“函数的单调区间”不要混淆。
正确解法：函数的对称轴为x＝－a，因为函数在时单调递减，故－a≥1，即a≤－1。
年级 | 高中 | 学科 | 数学 | 版本 | 期数 | ||||||||
内容标题 | 解函数的单词性时需注意的几个概念 | ||||||||||||
分类索引号 | 分类索引描述 | 辅导与自学 | |||||||||||
主题词 | 解函数的单词性时需注意的几个概念 | 栏目名称 | 专题辅导 | ||||||||||
供稿老师 | 审稿老师 | ||||||||||||
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