函数的单调性在高中数学中的运用
函数的单调性在高中数学中的运用
函数是一种形象的模型，函数的单调性是运用这种模型的关键所在，还是函数增减性的直观体现。然而函数的单调性在高中阶段是一个重难点，这考验了学生对函数性质的掌握程度与运用的灵活程度。本文通过对函数单调性概念的理解、具体实例的运用，阐述了如何用高中的所学知识解答一般的函数问题。
标签： 函数；单调性；高中数学
引言：数学学科的学习主要在于理解解题的思路，学会举一反三地应用多种方法解决数学知识。还有运用这一种方法去解多种类型的题。所以函数的单调性价值就再次体现。掌握并运用函数的单调性有助于提高学生的解题能力，函数的单调性可以给予学生具体可靠的参考思路和方法。从以往的数学高考案例分析，函数单调性的运用同样是重要的考点，教师在教学的过程中主要会引导学生发现函数的单调性。这不仅有助于提高学生对知识点的掌握，对于学生的创新思路也是一种训练。
一、函数单调性的概念及其判定方法
在函数的定义域内的一个子区间A内，如果对于任意两个自变量，当时，都有，则称函数在区间A上是单调递增的，也成为增函数；当时，都有，则称函数在区间A上是单调递减的，也称为减函数。
1.图像观察法。
具有单调性的函数反应在图像上石油上升、下降变化的，可以利用函数的上升和下降变化将函数分为不同的区间，有明显的上升区间与下降区间的函数图像则说明是单调性函数。
2.定义法。
定义法顾名思义就是根据函数的定义来判断函数的单调性，具体的判定步骤依次为取值、作差、对函数结果做变形处理、确定符号和下结论，其中对结果变形处理就会应用到函数的单调性解决不同的数学问题。
3.等价定义法。
函数单调性设函数的定义域为A，在定义域内任意取，且，若，则函数是增函数；若，则函数是减函数。等价定义是函数单调性的第二定义，主要是利用解析定义判定函数的增减性。
4.求导法。
求导法是利用导数与单调性的密切关系研究函数的手段，主要用来判断具体函数的单调性。求导法判定函数的单调性是所有判定方法中最简单同时也是最具特征的判定方法，有固定的判定步骤，判定函数的思路清晰并且容易建立。这种求导法也是学生最容易学习和掌握的判定方法，包含的逻辑性和推理性比较少，学生应用的前提是熟练掌握基本的求导公式，是一种建立在基本理论与公式之上的单调性判断法。
5.复合函数法。
复合函数的单调性的判定遵循一个原则，那就是“同增异减”，并且只能用于判定符合函数，这是由复合函数的特殊性所决定的。复合函数的单调性无法通过一个值来确定，而同一个定义域内又不止一个函数，因此就要分析同一个定义域内的不同函数，然后通过分析综合的增减性来判定函数的增减性，这就是“同增异减”。
二、函数的单调性在高中数学中的运用
1.利用函数的单调性解方程。
高中解方程的困难在于方程设定比较复杂，数理性太强，而函数的单调性的定义域应用都相对简单，还可以用函数单调性的图形帮助理解，将方程问题转化为函数的单调性问题有助于提升学生的理解能力，这实际上也是将纯数学问题转化为数形结合的问题。给方程设定不同的范围，也就是给定增减区间，这使得方成问题变得更具体，有利于解题思路的建立。
2. 利用函数的单调性解不等式。
不等式与函数的单调性问题有一个很大的共同点，就是首先需要确定不同的范围，函数的单调性区间是函数的增减区间，不等式的取值范围是不等式大小的范围，因此利用函数单调性解析不等式的思路就比较清晰了。像函数的单调性一样设定不等式的取值范围，再依次解析，这样解不等式的层次就比较清晰。
3. 利用函数的单调性求最值。
利用函数的单调性求函数最值是最直观的也是最简单的方法，学生根据函数单调性的图形求解函数的最值，有助于帮助学生建立思考空间，帮助学生将抽象的数学问题转化为比较直观的图形问题，帮助学生理解题意，建立清晰的最值解析思路。
4. 利用函数的单调性解数列。
由于数列没有确定的值，因此解数列问题还是要将其设为大于等于0和等于1的两种方法，这与函数的增减性相似，利用函数的增减性解数列是将数列设定范围，再来求数列的极限值，从而求出不同区间内数列的值的情况。如果要证明数列单调递增，只要先证明a2>a1，然后假设ak+1>ak，证明ak+2>ak+1。其中k为大于等于1的整数。证明单调性递减反之即可，只要先证明a1>a2，然后假设ak>ak+1，证明ak+1>ak+2，其中k为大于等于1的整数。
三、結论
综上所述，可以看出函数的单调性在整个高中数学中非常重要。函数的单调性作为解决高中数学的重要分析法，能够应用同一原理不同的方法分析不同类型的题，这正好符合新课程教育改革提出的教育教学要以学生为主体，开拓学生的思维为出发点，引导学生学会举一反三的分析问题。可以说函数的单调性将高中数学中比较重要的知识点串联了起来，能够应用函数单调性解决不同的数学问题，既是函数单调性广泛的应用性的体现，同时也是高中数学解题思路融会贯通的体现。希望学生灵活的掌握这一解题思维，能够熟练的运用单调性解决高中的不等式、方程、数列等知识相关的问题，为高考打好扎实的基础。
参考文献
[1] 刘家谊. 函数的单调性在高中数学中的学习与应用[J]. 农家参谋，2017（14）：136.
[2] 郝子昱. 高中数学中函数的单调性[J]. 环渤海经济瞭望，2017（08）：153.
[3] 刘璐. 函数单调性及其在高中数学中的应用[D].西北大学，2015.

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