高中数学函数的单调性和最值习题和详解
高中数学函数的单调性和最值习题和详解
高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
一、选择题
1．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( )
A ．至少有一实数根
B ．至多有一实数根
C ．没有实数根
D ．有唯一实数根 [答案] D
[解析] ∵函数f (x )在[a ，b ]上是单调减函数，
又f (a )，f (b )异号．∴f (x )在[a ，b ]内有且仅有一个零点，故选D.
2．(2010·北京文)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12
(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ [答案] B
[解析] 易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log 12
x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12
x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B. 3．(2010·济南市模拟)设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514
，则( ) A ．y 3<="" 2
B ．y 1<="" bdsfid="103" p="">
C ．y 2<="" 3
D ．y 1<="" 3
[答案] B
[解析] ∵y ＝0.5x
为减函数，∴0.513<0.514， ∵y ＝x 13在第一象限内是增函数，
∴0.413<0.513，∴y 1<="" bdsfid="112" p="">
4．(2010·广州市)已知函数
a －x －1 x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(2,3]
D ．(2，＋∞)
[答案] C [解析] ∵f (x )在R 上单调增，
∴ a >1a －2>0
a －－1≤log a 1，
∴2
5．(文)(2010·山东济宁)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥0
B ．a ≤0
C ．a ≥－4
D ．a ≤－4 [答案] D
[解析] ∵函数f (x )＝x 2
＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x ≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立，
∴g (0)≤0，g (1)≤0，即a ≤－4.
(理)已知函数y ＝tan ωx 在
－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是( ) A ．0<ω≤1
B ．－1≤ω<0
C ．ω≥1
D ．ω≤－1
[答案] B
函数单调性
[解析] ∵tan ωx 在
－π2，π2上是减函数， ∴ω<0.当－π2<π2<="" bdsfid="155" p="">
时，有 －π2≤πω2<ωx <－πω2≤π2， ∴
π2ω≥－π2－π2ω≤π2ω<0，∴－1≤ω<0. 6．(2010·天津文)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c [答案] D [解析] ∵1>log 54>log 53>0，∴log 53>(log 53)2>0，而log 45>1，∴c >a >b . 7．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－2,2] C ．{2}
D ．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，
若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；
若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <=""
∴a ＝2.
[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分． 8．(文)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13)＝0，则适合不等式f (log 127
x )>0的x 的取值范围是( )
A ．(3，＋∞)
B ．(0，13)
C ．(0，＋∞)
D ．(0，13)∪(3，＋∞) [答案] D
[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127x )>0，得|log 127x |>13，即log 127
x >13或log 127
x <－13.选D. (理)(2010·南充市)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．b >c >a
D ．c >b >a [答案] D
[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，
∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，
∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．
由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<="" bdsfid="210" p="">
即a
9．(2009·天津高考)已知函数f (x )＝
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x
－x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<1.<="" bdsfid="236" p="">
<1.<="" bdsfid="239" p="">10．(2010·泉州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有
<1.<="" bdsfid="242" p="">( )
<1.<="" bdsfid="245" p="">A ．最小值f (a )
<1.<="" bdsfid="248" p="">B ．最大值f (b )
<1.<="" bdsfid="251" p="">C ．最小值f (b )
<1.<="" bdsfid="254" p="">D ．最大值f ??
<1.<="" bdsfid="257" p="">??a ＋b 2
<1.<="" bdsfid="260" p="">[答案] C
<1.<="" bdsfid="263" p="">[解析] 令x ＝y ＝0得，f (0)＝0，
<1.<="" bdsfid="266" p="">令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )，
<1.<="" bdsfid="269" p="">∴f (－x )＝－f (x )．
<1.<="" bdsfid="272" p="">对任意x 1，x 2∈R 且x 1<="" bdsfid="273" p="">
<1.<="" bdsfid="276" p="">f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)
<1.<="" bdsfid="279" p="">＝f (x 1－x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，
<1.<="" bdsfid="282" p="">∴f (x )在R 上是减函数，
<1.<="" bdsfid="285" p="">∴f (x )在[a ，b ]上最小值为f (b )．
<1.<="" bdsfid="288" p="">二、填空题
<1.<="" bdsfid="291" p="">11．(2010·重庆中学)已知函数f (x )＝ax ＋b x －4(a ，b 为常数)，f (lg2)＝0，则f (lg 12
<1.<="" bdsfid="294" p="">)＝________. [答案] －8
<1.<="" bdsfid="297" p="">[解析] 令φ(x )＝ax ＋b x
<1.<="" bdsfid="300" p="">，则φ(x )为奇函数，f (x )＝φ(x )－4， ∵f (lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，
<1.<="" bdsfid="303" p="">∴f (lg 12
<1.<="" bdsfid="306" p="">)＝f (－lg2)＝φ(－lg2)－4 ＝－φ(lg2)－4＝－8.
<1.<="" bdsfid="309" p="">12．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.
<1.<="" bdsfid="312" p="">[答案] 3
<1.<="" bdsfid="315" p="">[解析] ∵偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．
<1.<="" bdsfid="318" p="">因此，若k ≤0，则k －(－2)＝k ＋2<3，若k >0，∵f (x )在[－2,0]上单调减在[0，－k ]上单调增，∴最小值为f (0)，又在[－2，k ]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.
<1.<="" bdsfid="321" p="">13．函数f (x )＝ax －1x ＋3
<1.<="" bdsfid="324" p="">在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] ?

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。