《函数的单调性和最值》教学设计一
教学设计
一、创设情境，引入课题
实例：科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线请你根据曲线图说说气温的变化情况.
预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生
没指明时间段，可追问）等.图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）.
设计意图：从科考情境导入新课，了解“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性.
函数是描述事物变化规律的数学模型.如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应事物的变化规律.在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质.因此，研究函数的变化规律是非常有意义的.
观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势.
设函数的定义域为I，区间在区间D上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即y随x的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调增区间.
引导学生类比定义“递减”，接着给出下图，让学生准确回答单调性的变化情况.
设计意图：从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知，明确相关概念，准确表述单调性.
二、引导探索，生成概念
问题1：（1）下图是函数的图象（以为例），它在定义域R上是递增的吗？
（2）函数在区间上有何单调性？
预设：学生会不置可否，或者凭感觉猜测，可追问判定依据.
设计意图：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式，但仅凭函数解析式常常也难以判断其单调性.借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性.
问题2：（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增大”？
以二次函数在区间上的单调性为例，用几何画板动画演示“y随x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）.
设计意图：先借助图形、动画和表格等直观感受“y随x的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出：若，则必须有.
（2）已知，若，则能保证函数在区间上递增吗？
拖动“拖动点”，改变函数在区间上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增.
（3）已知，若，则能保证函数在区间上递增吗？
拖动“拖动点”，观察函数在区间上的图象变化.
设计意图：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成.
（4）已知，若有，能保证函数在区间上递增吗？
可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生进行反驳，然后追问：无数个x也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个验证吧？”.
紧接着师生一起回顾子集的概念（课件展示教材上子集的定义），再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想.
问题3：如何用数学语言准确刻画函数在区间D上递增呢？
预设：请学生自愿尝试概括定义板书“任意，当时，都有，则称函数函数单调性在区间D上递增”，要突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间D上递增吗？”.
问题4：请你试着用数学语言定义函数在区间D上是递减的.
预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示，并有意引导使用“任意，当时，都有，则称函数在区间D上递减”，以此打破必须“”的思维定式.
抽象概括：
设函数的定义域为D：
如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数是增函数.特别地，当Ⅰ是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间Ⅰ上单调递增.
如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数是减函数.特别地，当Ⅰ是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间Ⅰ上单调递减.
如果函数在区间Ⅰ上单调递增或单调递减，那么就称函数在区间Ⅰ上具有单调性.此时，区间Ⅰ为函数的单调区间.
若存在实数M，对所有的，都有，且存在，使得，则称M为函数的最大值.
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