函数的单调性教学设计
【课标解读】
函数单调性1．通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力2．通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法3．经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
【教材分析】
《函数单调性》是高中数学必修一第一章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。重点是函数单调性概念的理解及应用。难点是函数单调性的判定及证明。关键是对增函数与减函数的概念的理解。
【学情分析】
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
【教学目标】
知识与技能：
1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。
2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。
过程与方法：
1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。
2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。
情感与态度：
1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。
2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。
【教学过程】
（一）问题情境．德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据：
时间间隔 | 记忆保持量 |
刚刚记忆完毕 | 100% |
20分钟之后 | 58.2% |
1小时之后 | 44.2% |
8-9小时之后 | 35.8% |
1天后 | 33.7% |
2天后 | 27.8% |
6天后 | 25.4% |
一个月后 | 21.1% |
… | … |
将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？（学生回答）
这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆.
象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性.
（二）学习新课：
观察下列函数的图象,回答当自变量x 的值增加时,函数值f(x)是如何变化的？（学生回答）
（1）函数的图象从左到右上升,即当x增大时f(x) 随着增大,所以称函数在R上是增函数.
（2）函数在对称轴y轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-∞,0]上当x增大时f(x) 随着减小，在区间（0,+∞)上当 x增大时f(x)随着增大. 所以称函数在(-∞,0] 上是减函数，在（0,+∞)上是增函数.
那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？
考察函数在（0,+∞)上任取x1、x2 ,则，，对任意0<x1<x2 ，都有 ，所以在区间（0,+∞)上，对任意x1<x2 ,都有，即在（0,+∞)上, 当x增大时, 函数值相应地随着增大.这与观察图象所得结果是一致的. 所以在区间（0,+∞)上是增函数.
由此归纳出增函数的定义，类似地得出减函数的定义（学生讨论、回答）.
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是减函数.
如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在区间上具有(严格的)单调性，区间叫做函数f(x)的单调区间.
问：能否说函数在区间(-∞,0)∪(0，+∞)上也是减函数？
答：不能. 因为不是对任意的x1、x2 ，当时，都有.
反例如：－1<1，－1＝f(-1)< f(1)＝1.
探究：下列表述中
(1)f(a)<f(b)
(2)存在x1、x2∈[a,b], 当a≤x1< x2≤b时f(x1)<f(x2).
(3)对任意x1、x2∈[a,b], 当a≤x1< x2≤b时f(x1)<f(x2).
可确定函数y=f(x)在区间[a,b]上为增函数的有_______个
（三）运用概念
例1.课本29页例1
例2.利用定义：证明函数f(x)=-5x+6在R上是减函数
通过两例，教师要向学生说明：
1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；
②定义法：严格按照定义进行验证；
2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。
（四）课堂练习：求证：函数y=在区间（1，+）上为单调减函数
设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本题， 要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。
(五）能力提升：例3已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+3在(求实数a的取值范围.
设计意图：引导学生利用函数的单调性求字母的取值范围。
（六）课堂小结
1.增函数、减函数的定义；
2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.
3.（定义法）证明函数单调性的步骤:
4.函数单调性的应用
（七）布置作业
1.课本39页A组第1、2、3题.
2.课下思考题：如何确定函数的单调区间，并证明你的结论.
(八)板书设计
题目：函数的单调性 | |
函数单调性的定义 例3的图象 | 课堂练习 |
（
【学情分析】
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯
效果分析：
本节课在基于为学习设计教学理念基础上，运用多种教学方法探索函数单调性概念，注重让学生经历函数单调性概念由图象直观特征到自然语言描述再到数学符号描述的进化过程，注重让学生体验数学知识的发生发展过程，并在体验函数单调性概念符号化的建构过程中掌握数学的认知策略．其中渗透着数形结合、特殊到一般的数学思想和研究方法，符合学生的认知规律，结合正例、反例让学生理解函数单调性的概念以及运用定义证明一些简单函数的单调性。
教学时，要善于把它们联系起来看，结合起来用，以提高教学实效。通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。在学生讨论、交流、协作时，通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查缺补漏。在整节课中以发展学生智慧为中心，养育学生既聪明又文明、既通情又达理、既和谐又创新的智慧品质。教学坚持全脑学习原则和数学活动原则。通过情商策略系统、会学策略系统和创造策略系统促进智慧成长。追求为学习设计教学不仅仅是使学生掌握数学基本知识与基本技能，更加重要的是亲历丰富的数学基本活动，经受到理智挑战和内心震撼，收获感动和鼓舞，丰富情感与体悟，领会数学基本思想与方法，感受数学的真、善、美，使学生受益无穷。
【教材分析】
《函数单调性》是高中数学必修一第一章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关
性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。重点是函数单调性概念的理解及应用。难点是函数单调性的判定及证明。关键是对增函数与减函数的概念的理解。
评测练习
一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ）
A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1
C．y= D．y=2x2＋x＋1
2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于 （ ）
A．－7 B．1
C．17 D．25
3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ）
A．(3，8) B．(－7，－2)
C．(－2，3) D．(0，5)
4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3
5．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
二、填空题：
6．函数y=(x－1)-2的减区间是___ _．
7、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ．
三、解答题：
8．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f() = f(x)－f(y)
（1）求f(1)的值．
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