第2招:一争高下-利用指对幂函数性质比较大小
第2招：一争高下-利用指对幂函数性质比较大小
第2招：一争高下 - 利用指对幂函数性质比较大小
1.求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过指数(真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.
2.利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“,,”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”),也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计.
3.利用函数的单调性比较大小:例:在上单调递增,则,,(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁).
总之,比较数式的大小,若同底,考虑指数函数(或对数函数),若同指,则考虑幂函数,再利用函数的
单调性比较大小,若不同底,也不同指,则其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决,或者利用中间量法.
方法一:估算法
就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法.
例如比较与的大小.
因为
,进而可估计是一个大于且小于的数,从而便于比较,同理可得为大于且小于的数,所以.
方法二:数形结合法
就是利用函数图象或数学结果的几何意义,将比较大小与某些函数图象结合起来,利用函数图象性质,再辅以简单计算,确定正确答案的方法.
例如已知,,,则( )
A.
B.
C.
D.
因为
,在同一平面直角坐标系中分别作出函数
,,的图象,如图所示:
由图象知
,由于函数为增函数,∴
,∴,故选C.
方法三:单调性比较法
解题时根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较大小,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,然后根据函数的单调性进行比较大小.
例如(2020·全国卷II理·11)若,则( )
A.
B.
C.
D.
本题考查函数的单调性.由,得,即
,设函数,则,因为函数在上为增函数,在上为减函数,则在上为增函数,所以函数在上为增函数,所以,所以,所以,故选A
方法四:对数法比较大小
题型特点:有些题目可以用函数方法或中间量的方法来比较大小,但是有些题目,靠上述手段很难比较大小,我们就需要新的武器——对数法比大小.
例如比较与的大小.
设,则,设,则,等号两边同时取对数有,,所以
,所以,即.
(2020·全国卷III理·12)已知,,设,,,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】本题考查对数函数的性质、不等式的性质.易知,,函数单调性,由
,知,因为
,,所以,,即,,又因为,,所以
,即,综上所述,,故选A.
1.（2021八省联考）已知且,且,且,则( )
A.
B.
C.
D.
2.(原创）已知,,,则,,的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
3.（原创）三个数,,大小关系是( )
A.
B.
C.
D.

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。