高中数学函数的单调性知识点总结
高中数学函数的单调性知识点总结
函数的单调性，指的是函数的在其定义域或某区间上的增减性。包括单调增和单调减两种情况。 1.增函数和单调递增区间
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x < 时，都有()()12f x f x <，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增。      特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。      图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈上升趋势。 2.减函数和单调递减区间
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x < 时，都有()()12f x f x >，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递减。      特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。      图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈下降趋势。 3.定义法判断或证明函数单调性的步骤，可以归纳为：取值定大小，作差和变形， 定号给结论，3个关键步骤。 4. 复合函数的单调性
复合函数()()y f u x =的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中()y f u = 是外层函数，()u u x =是内层函数，有以下几种情况： ①()y f u =，()u u x =，则()()y f u x =； ②()y f u =，()u u x =，则()()y f u x =； ③()y f u =，()u u x =，则()()y f u x =； ④()
函数单调性
y f u =，()
u u x =，则()()
y f u x =；
【小结】内外层函数单调性相同时为增函数，单调性相反时为减函数。 例题：判断下列复合函数在()0,1x ∈上的单调性。
（1）y =解：()0,1x ∈时,()20,1u x =∈。
外层函数:y =()0,1u ∈上单调增，    内层函数:2u x =在()0,1x ∈上单调减。
内外层函数的单调性相反，∴复合函数y =()0,1上是减函数。 （2）2
1
2y x x
=
- 解：()0,1x ∈时,()221,0u x x =-∈-。
外层函数:1
y u
=
在()1,0u ∈-上单调减， 内层函数:22u x x =-在()0,1x ∈上单调减。
内外层函数的单调性相同，∴复合函数21
2y x x
=-在()0,1上是增函数。
（3）2sin y x =
解：()0,1x ∈时,()20,1u x =∈。
外层函数:sin y u =在()0,1u ∈上单调增， 内层函数:2u x =在()0,1x ∈上单调减。
内外层函数单调性相反，∴复合函数2sin y x =在()0,1上是减函数。
5.如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()y f x =在 这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
6.（1）函数()y f x =在[],a b 上是增函数
⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x <；时，都有()()12f x f x <；成立。 ⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x >时，都有()()12f x f x >成立。
⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立。 ⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠时，都有
()()
()12120f x f x x x ->-成立。 （2）函数()y f x =在[],a b 上是减函数
⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x <；时，都有()()12f x f x >成立。 ⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x >时，都有()()12f x f x <；成立。
⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦成立。 ⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠时，都有
()()
()
12120f x f x x x -<-成立。
7.单调区间的端点问题：由于讨论在某一点处的单调性也没有意义，所以书写函 数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定（可开可闭）。习惯上，定 义域中含有端点时写成闭区间（也可写成开区间），但定义域中不含端点时， 只能写成开区间。如下面例题解析：
（1）2y x =的递增区间可以写成()0,+∞，也可以写成[)0,+∞，
但是，一般都写成[)0,+∞。
（2）1
y x
=
的递减区间，因为定义域中不含0，所以只能写成 ()(),0,0,-∞+∞。
【注】单调区间之间一般都不能“并”，要用逗号或“和”字隔开。

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