3.2.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
（一）教学目标
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义；
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值；
3．通过本节课的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力。
（二）教学重点与难点
重点：会求函数的最值。
难点：掌握求函数最值的方法。
（三）过程与方法
合作讨论式教学法。通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念。 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法。
（四）核心素养
借助函数最值的求法，培养直观想象、数学运算及逻辑推理等素养。
（五）教学过程
教学环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
设计问题，创设情境 | 画出函数，的图象，观察函数图象的特点。 | 师：画出函数的图象，观察函数图象的特点？ 生：图象有最高点 师：通过观察，函数的图象上有一个最高点，即当的时候，函数值最大，如何用数学语言来描述它呢？ （学生思考） 学生站起来回答。 生： , 师：函数什么时候取到最大值0？ 生：当时，。 | 从学生熟悉的二次函数及其图像引出最值得概念，遵循从特殊到一般的原则。问题出发，激发学生的学习兴趣，同时为学习接下来的函数最值概念做好铺垫。 |
学生探索，尝试解决 | 如果是函数的最大值，那需要满足什么条件？ | 师生合作，通过分析明确需要满足的条件。 | 应用函数图象感知函数的最大值。 |
形成 概念 | 函数最大值概念： 一般地，设函数的定义域为I,如果存在实数满足： （1）对于任意,都有； （2）存在，使得。 那么，称是函数的最大值。 | 师：概念中的两个条件必须同时满足吗？只满足一个行不行？如果只有条件（1），没有条件（2）可以吗？带着这个问题，我们来看一下：如果在刚才的坐标系中再取一点（0,1），则有，那能说函数的最大值是1吗？ 生：不能。 师：为什么？ 生：因为取不到。 师：再举个例子，如果用y表示我们班男生的身高，2.26m是姚明的身高，这里的，那么能说我们班级男生身高的最大值是2.26m吗？ 生：不能，因为姚明不是我们班的同学，取不到2.26m。 师：所以条件（2）必须有。 师：如果只有条件（2）可以吗？ 生：不行。 师：最大值的核心就是不等式,所以不能只有（2）。 师：在函数的最大值的定义中，（1）（2）两个条件缺一不可。 | 由实例抽象获得最大值概念.并且让学生真正理解两个条件缺一不可。 |
形成 概念 | 函数最小值概念. 一般地，设函数的定义域为I,如果存在实数满足： （1）对于任意,都有； （2）存在，使得。 那么，称是函数的最小值。 | 师：观察函数图象的特点？ 生：图象有最低点。 师：你能依照函数最大值的定义，得出函数的最小值的定义吗？ 师生合作，学生口述，老师评析并板书定义。 函数的最值： 1.定义：函数的最大值和最小值统称为函数的最值； 2.几何意义：函数的最值是函数图象最高点或最低点的纵坐标； 3.说明：函数的最值是在整个定义域内的性质。 | 由最大值定义类比最小值定义. |
运用规律，解决问题 | 例1 已知函数 (1)函数在上存在最大值和最小值吗，如果存在，求出它的最大值和最小值； (2)求出函数在上的最大值和最小值 变式：求函数在区间上的最小值。 例2 已知函数y =(x[2，6])，求函数的最大值和最小值. | 师生合作讨论例1及变式的解法思想，老师点评。 例1解：作出函数2 的图象。 显然，问题（1），函数在有最低点，没有最高点，所以有最小值1，没有最大值。 问题（2）在上既有最低点又有最高点，所以最小值为1，最大值为5。 变式解：二次函数的对称轴为 当，即时，函数图象如图所示，函数在区间上单调递减，函数单调性所以最小值为； 当，即时，函数图象如图所示，最小值为； 当时，函数图象如图所示，函数在区间上单调递增，所以最小值为。 综上可得， 例2分析：由函数 ()的分母变大，整体变小，函数在区间上递减. 所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值。 解：设且，则 由 得于是 即 。 所以，函数是区间上是单调递减的。 因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在时取得的最大值，最大值是2，在时取得最小值，最小值是0.4。 | 自学与指导相结合，提高学生的学习能力. （1）以简单问题考查了学生对函数最大值和最小值的理解。 变式：学生先独立思考，然后进行小组交流讨论，出代表展示讨论结果，最后教师总结。通过思考、讨论和展示，不仅培养了学生自主学习能力，也激发了学生的学习兴趣，渗透数形结合和分类讨论的思想。 进一步固化求最值的方法及步骤. 讲练结合，固化技能。运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法。 |
变练演练，深化提高 | 1.已知函数 求的最大值、最小值． 2．求函数在上的最小值。 | 1.解： 作出函数的图象(如图) 由图象可知，当时，取最大值为。 当时，取最小值， 故的最大值为1，最小值为0。 2.解： 法一： 设， 则 ∵， ∴在[1,2]上是单调递减的。 ∴当时，取得最小值4。 法二：因为 所以 所以 当且仅当即时等号成立， 所以函数在上的最小值为4。 师：同学们思考一下，本节课你都用了哪些方法求函数的最值？ 师生共同总结：1.数形结合 2.利用单调性 3.基本不等式 | 学生进一步体会数形结合，并且深刻理解函数最值的几何意义。 让学生体会求函数最值得方法：图象法，利用单调性，基本不等式。 |
信息交流，教学相长 | 1.你收获了哪些知识？ 2.你是如何收获这些知识的？ 3.你运用了哪些思想方法？ 4.你还有什么疑惑吗？ | 师生交流合作总结、归纳. | 能力培养 |
课后 作业 | 分层作业：《课时分层作业十八》 必做：A组 选做：B组,C组 | 学生独立完成 | 能力培养 |
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