函数的奇偶性（小组课同步讲义）
内容 | 明细内容 | 要求层次 | |||
了解 | 理解 | 掌握 | |||
函数的性质 | 奇偶性 | 简单函数奇偶性的判断和证明 | √ | ||
复合函数的奇偶性判断与证明 | √ | ||||
抽象函数的奇偶性函数的概念 | √ | ||||
1、用定义法证明函数单调性的一般步骤是？
2、一次函数，二次函数，反比例函数的单调性如何判断？
4．1函数的奇偶性
知识点1．函数奇偶性的定义
1、奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．
2、偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且
，则这个函数叫做偶函数．
3、用定义判断函数奇偶性的基本步骤：
1首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；
2若对称，则再判断或是否为恒等式．
小贴士：
1函数奇偶性定义的等价形式：，．
2若函数的定义域关于原点中心对称且，则函数既是奇函数也是偶函数.
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
【解析】（1）偶函数.（2）非奇非偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）既是奇函数又是偶函数.（5）奇函数.（6）奇函数.
【变式训练】判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）； （3）
（4） （5）； （6）
【答案】（3）、（5）为偶函数；（1）、（6）为奇函数；（2）、（4）为非奇非偶函数.
【例2】已知是定义在上的奇函数，判断下列函数的奇偶性.
（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）偶函数.（2）奇函数.（3）奇函数.（4）非奇非偶函数.
【变式训练】已知函数，那么是（）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A．
知识点2．奇偶函数的性质
1、函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；
2、函数是偶函数的图象关于轴对称；
3、函数是奇函数的图象关于原点对称．若奇函数的定义域包含，则．
【例3】若在上为奇函数，且当时，，则
【解析】 因为在上为奇函数，当时，，则函数单调性.
【变式训练】已知为奇函数，则 ．
【答案】.
【例4】已知为奇函数，则实数 ．
【解析】因为为奇函数，且的定义域包括，则，即.
【变式训练】若数为奇函数.求实数的值；
【答案】.
【例5】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当
时，的解析式为______．
【解析】因为，所以，所以.
【变式训练】已知偶函数的定义域为，当时，，求的解析式．
【答案】
【例6】已知是奇函数，是偶函数，且，求、．
【解析】构造方程，
因为是奇函数，是偶函数，所以，
又因为，所以
解得，.
【PK一下】
一、如果函数，为定义域相同的偶函数，试问：
（1）是奇函数还是偶函数？说明理由．
（2）是奇函数还是偶函数？说明理由．
（3）是奇函数还是偶函数？说明理由．
（4）是奇函数还是偶函数？说明理由．
【解析】
（1），所以是偶函数．
（2），所以是偶函数．
（3），所以是偶函数.
（4），所以是偶函数．
二、若函数，为定义域相同，函数是奇函数，为偶函数，对于上述问题又能得出什么样的结论呢？
【答案】
（1）是非奇非偶函数． （2）是非奇非偶函数．
（3）是奇函数. （4）是奇函数．
三、若函数，都是奇函数呢？
【答案】
（1）是奇函数． （2）是奇函数．
（3）是偶函数. （4）是偶函数．
快乐大PK
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