第05讲-函数的单调性与最值
一、考情分析
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
二、知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称
函数y＝f(x)在区间M上是增
函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y
＝f(x)在区间M上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论M为最大值M为最小值
[微点提醒]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝
1
f （x ）
的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a
x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].
三、 经典例题
考点一 确定函数的单调性(区间)
【典例1-1】（2021·陕西高三其他模拟（理））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),0-∞上单调递增，若()()121f f -==，则下列不等式错误的是（ ） A ．312f ⎛⎫
-
>- ⎪⎝⎭
B ．()()11f f ->
C ．()31f >
D ．112f ⎛⎫
>-
⎪⎝⎭
【答案】D 【详解】
根据题意可得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数， 由()()121f f -==可得(1)(2)1f f =-=-，
对A ，由()f x 在(),0-∞上为增函数，且(2)1f -=-， 所以3(2)12f f ⎛⎫
-
>-=- ⎪⎝⎭
，故A 正确； 对B ，由()11f -=，(1)1f =-，故B 正确；
对C ，由函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以()3(2)1f f >=，故C 正确； 对D ，由函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以1(1)12f f ⎛⎫
<=- ⎪⎝⎭
，故D 错误. 故选：D
【典例1-2】（2021·云南丽江市·高一期末）定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且
(2)0f =，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ）
A ．(,2)(2,)-∞-+∞
B ．(2,0)(0,2)-
C ．(2,0)(2,)-+∞
D ．(,2)(0,2)-∞-⋃
【答案】C
义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)0f =， 所以()f x 在(),0-∞上单调递减，且(2)0f -=，
()0()00x x f x f x >⎧⋅>⇒⎨>⎩或()0
0x f x <⎧⎨<⎩
，
故2x >或20x -<<， 故选：C
【跟踪训练1】（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在
()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（ ）
A ．(][),13,-∞-+∞
B ．(][],11,3-∞-
C ．[][]1,01,3-
D ．[]
[)1,03,-+∞
【答案】C 【详解】
函数单调性因为()10xf x -≤，
所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或(
)0
10x f x ≥⎧⎨-≤⎩，
因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，
所以()00
1310012
x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨
-≤≤-≤⎩⎩， 因为()f x 在R 上为奇函数，
所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，
因此()00
1010211
x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨
-≥-≤-≤-⎩⎩， 综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3-.
故选：C.
【跟踪训练2】（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A ．()f x x =-
B ．()23x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．()2
f x x =
D ．
()f x =
【详解】
对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.
对于B ，()23x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，()2
f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.
对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意，
故选：D.
【跟踪训练3】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数()222,0,
2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩
则不等式
()()324f x f x +<-的解集为（ ）
A ．(),3-∞-
B ．3,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
C ．(),1-∞-
D ．(),1-∞
【答案】A 【详解】
易得函数()f x 在R 上单调递增，
则由()()324f x f x +<-可得324x x +<-，解得3x <-， 故不等式的解集为(),3-∞-. 故选：A ．
规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 考点二 求函数的最值
【典例2-1】（2021·江苏高三专题练习）函数x y a =（0a >，且1a ≠）在[]1,2上最大值与最小值的差为2，则a =（ ） A ．1-或2 B ．2 C ．
12
D ．
14
【答案】B 【详解】
根据题意，0a >，且1a ≠，由x
y a =的单调性，可知其在[]1,2上是单调递增函数或单调递减函数，
总是在1x =和2时，取得两个最值，即2
2a a -=，即22a a -=或22,a a -= 当方程22a a -=成立，即220a a -+=，判别式30∆=-<，该方程无实数解； 当方程22a a -=成立，即220a a --=，解得2a =（1a =-舍去）， 故选：B ．
【典例2-2】（2020·上海高三一模）设0x >，0y >，若121x y +=，则y
x
的（ ） A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为2 D ．最大值为2
【答案】A 【详解】
因为0x >，0y >，所以0y
x
>， 因为121x y +
=，所以112y x
=-，12x ≠，
则2
2
11
1
(12)211248y x x x x x
x ===--+⎛
⎫--+
⎪⎝
⎭， 故当14
x =
时，y
x 最小，min 8y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
故选：A.
【跟踪训练1】（2020·全国高三专题练习）已知函数(
))0f x x a =+>的最小值为2，则实数a=（ ） A ．2 B ．4
C ．8
D ．16
【答案】B
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