浙江省温州市2021届新高考数学三模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为
A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+
B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+
C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+
D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+ 【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.
故本题答案为D.
【点睛】
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.
2．已知函数()2
22ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩
，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）
A ．1e
B
．C
D ．2
1e 【答案】A
【解析】
【分析】 画出分段函数图像，可得121x x =，由于
()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln x g x x
=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.
【详解】
由于22123012x x e x e <<<<<<+，
1212ln ln 1x x x x -=⇒=,
由于()
()122222
ln f x f x x x x x ==， 令()ln x g x x
=，()21x e ∈，， ()()21ln x g x g x x
=⇒'-在()1e ，↗，()
2e e ，↘ 故()1()max g x g e e ==. 故选：A
【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
3．把函数2()sin f x x =的图象向右平移
12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]
②()g x 的一个对称轴是12x π
=
③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭
④()g x 存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝
⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导，并得到导函数的值域，即可判断④.
【详解】
由题,21cos2
()sin
2x
f x x -
==,
则向右平移
12
π
个单位可得,
1cos2
11
12
()cos2
226
2
x
g x x
π
π
⎛⎫
--
⎪⎛⎫
⎝⎭
==--+
⎪
⎝⎭
cos2[1,1]
6
x
π
⎛⎫
-∈-
⎪
⎝⎭
,()
g x
∴的值域为[0,1],①错误；
当
12
x
π
=时,20
6
x
π
-=，所以
12
x
π
=是函数()
g x的一条对称轴,②正确；
当
3
x
π
=时,2
2
6
x
π
π
-=，所以()
g x的一个对称中心是
1
,
32
π⎛⎫
⎪
⎝⎭
,③正确；
()sin2[1,1]
6
g x x
π
⎛⎫
'=-∈-
⎪
⎝⎭
，则1212
,,()1,()1
x x R g x g x
''
∃∈=-=，使得
12
()()1
g x g x
''
⋅=-，则()
g x在
1
x x
=和
2
x x
=处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确，共3个.
故选:C
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换，考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心，考查导函数的几何意义的应用.
4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 意思是：有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.
A．5.45B．4.55C．4.2D．5.8
【答案】B
【解析】
如图，已知10
AC AB
+=，3
BC=，2229
AB AC BC
-==
∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ，
∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩
. ∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
5．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）
A ．3
B ．13
C ．2
D ．12
【答案】A
【解析】
【分析】 设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x
'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.
【详解】
设切点为00(,2)x kx -， ∵3y x '=，∴00
03,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①② 由①得03kx =，
代入②得013ln 1x +=，
则01x =，3k =，
驾考新规故选A.
【点睛】
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.
6．若函数()()22
2cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ） A
．32- B
．32- C ．4- D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果.
【详解】
()()()2
21cos 138f x x m x m m =+-+++-，
则()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-， ()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-， ()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.
若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.
①当4m =-时，令()()()214cos 140f x x x =+-+-=，得()()2
4cos 141x x +=-+，作出函数()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象如下图所示：
此时，函数()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意； ②当2m =时，()cos 11x +≤，()()()2
12cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，则函数()y f x =有且只有一个零点.
综上所述，2m =.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
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