有理数的加法与减法（8种题型）
1．理解有理数加减法的意义；
2．初步掌握有理数加法与减法法则；
3．能准确地进行有理数的加法与减法运算，并能运用其解决简单的实际问题．
一．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
二．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
三．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
四、有理数加减法混合运算技巧
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“+”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
题型一：有理数的加法法则
例1.计算：
(1)(－0.9)＋(－0.87)；(2)(＋45
6
)＋(－3
1
2
)；
(3)(－5.25)＋51
4
；(4)(－89)＋0.
解析：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值．
解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77；
(2)(＋45
6
)＋(－3
1
2
)＝1
1
3
；
(3)(－5.25)＋51
4
＝0；
(4)(－89)＋0＝－89.
方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值．【变式1】计算：
(1)(+20)+(+12)； (2)
12
23
⎛⎫⎛⎫
−+−
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
； (3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．
【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法
法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．
(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2)12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−=−+=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9
(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9
(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；
(6)(-5)+0＝-5．
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．
【变式2】设[]x 表示不超过x 的最大整数，计算：][2.3 6.5⎡⎤−+=⎣⎦______．
【答案】3
【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解．
【详解】解：∵[]x 表示不超过x 的最大整数，
∴][2.3 6.563,⎡⎤−=−=⎣
⎦， ∴][2.3 6.5363⎡⎤−+=−+=⎣
⎦； 故答案为3．
【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键．
【答案】(1) 4.62−；
(2)0.25−．
【分析】（1）根据有理数的加法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数的加法运算法则及求一个数的绝对值进行计算即可．
【详解】（1）解：
()() 3
3 2.71 1.69
5
⎛⎫
−+−++
⎪
⎝⎭
()()
3.6 2.71 1.69 =−+−+
()
3.6 2.71 1.69 =−++
6.31 1.69
=−+
()
6.31 1.69
=−−
4.62
=−；
（2）
11 5 4.2575
22
⎛⎫
−++−+
⎪
⎝⎭
()
5.5 4.257 5.5
=−++−+
()
1.25 1.5
=−+−
()
1.25 1.5
=+−
()
1.5 1.25
=−−
0.25
=−．
加减符号【点睛】本题考查了有理数的加法运算及求一个数的绝对值；解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
(2)6
(3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析
【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则；
（2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序；
（3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
归纳※（宏)运算的运算法则：同号两数进行※（宏)运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏)运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
（2）解：()()()134+−⎡⎤⎣⎦−※※，
()()
33=−−※， 6=，
故答案为：6；
（3）解：()()231−+=−※，()()231−+=−※．
∴加法交换律适用；
()()()()()412321+−+=−+=−※※※，
()()()()()124134−+=+−−⎡⎤+⎣⎦※※※，
而13−≠−，
∴加法结合律不适用．
【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法．
题型二：有理数加法在实际生活中的应用
例2.股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：
(1)星期三收盘时，每股多少元？
(2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？
解析：(1)用买进的价格加上周一、周二、周三的涨跌价格，然后根据有理数加法运算法则进行计算即可求解；(2)分别求出这五天的价格，然后即可得解．
解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盘时，每股74.5元；
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