MATLAB在热物理学中的应用
  MATLAB在热物理学中的应用
摘 要：本文阐述了基于MATLAB的数值计算、可视化图形处理、开放式以及可扩充体系结构的特点,并介绍了高性能语言 MATLAB 在大学物理热物理学中的一些应用，包括在麦克斯韦速率分布、理想气体定容比热回归分析和化工热力学中的应用。　
关键词那些最煽情的电影情节都说爱能超越生死离别：MATLAB;麦克斯韦速率分布;理想气体;热力学
          Application of MATLAB in thermal physics
Abstract: Based on MATLAB’s features of numerical calculation, visualization of graphics processing,opening and scalable architecture,introduced the applications of language of Matlab with high-performance in thermal physics of university physics,include in the Maxwell speed distribution、specific heat at constant volume regression analysis of ideal gas,and the chemical industry thermodynamics.
Key Words: MATLAB; Maxwell speed distribution;ideal gas; thermodynamic
引言
大学物理学是工科学生的一门必修课, 由于大学物理数学处理比较复杂,恰当地使用可视化以展现数学公式的物理图像, 使其变得直观、形象。MATLAB 是一套高性能的数值计算和可视化软件,下面我们从一些典型的实例出发, 介绍 MATLAB 在热物理学方面的具体应用。
1 MATLAB-PDEtool介绍      
MATLAB-PDEtool提供了一个功能强大使用灵活的二维有限元偏微分方程求解环境，其图形用户界面更是使用十分方便、直观一般来说，MATLAB-PDEtool包括3个步骤：
（1） 定义一个PDE问题，它包括确定二维求解区域、边界条件和PDE系数。MATLAB-PDEtool能够求解的PDE型式有：椭圆型、抛物线型、双曲线型、特征值型。当使用GUI时，可以在画图模式下确定求解区域；在边界模式下选择方程形式和设置方程系数。
（2） 数值求解，它包括剖分、离散方程和得到一个数值解。在GUI中，在剖分模式下形成满意的网格；在求解模式下通过选择数值计算方法求解。
（3） 图形化显示结果。通常用于表现有限元计算结果的图形有：变形网格图、云图、等值线图、矢量图、网格图、表面图、流线图等。
2 MATLAB在麦克斯韦速率分布中的应用
气体动力学理论中麦克斯韦速率分布律是大学物理讲授与学习中的一个难点和重点。这是因为公式比较复杂抽象，数学推导证明比较繁琐。如果借助 Matlab 就可以比较方便地解决这些问题[1]。首先, 推导三种速率和归一化条件。已知分布函数表达式为：
            （1）
最大概然速率分布可由下式求出：
                                              （2）
平均速率的定义是：
                              （3）
方均根速率为：
                        （4）
归一化条件是：
上海浦东移动营业厅
                                              （5）
后三项求解比较复杂,其中用到Gamma函数,传统方法是查数学用表得到结果。如果应用 Matlab的符号计算功能, 只需要简单几行语句就可以解决这些问题。用到相关函数有：符号变量创建函数 syms，求微分函数diff， 求积分函数 int，符号化简函数 simple，字符串转化函数 eval。
具体 Matlab 语句如下：   
Syms mktvanp
g=exp(- (m*v^2)/(2*k*t))*v^2；
a=m/(2*k*t);f=int(exp(- a*v^2)*v^n,v,0,inf)；
b=f*4*pi*(a/pi)^(3/2)；
pretty(solve(diff(g,v)))； %求解最概然速率
n=2;eval(simple(eval(b)))，%证明归一化条件
n=3;pretty(simple(eval(b)))，%求解平均速率
n=4;pretty(eval(simple(eval(b^0.5))))， %求解方均根速率
程序中第五行语句给出最大概然速率：
                                （6）
其物理意义是“若把整个速率范围分成许多相等的小区间，则 vp 所在的区间的分子数占分子总数的百分比最大”[2]。所以可知在( 0，+∞) 速率区间的分子数占分子总数的百分比(对应着曲线与X轴所围的面积) 恒等于1，即满足归一化条件，第六行语句证明了这个结论。
第七行语句给出平均速率：
      （7）
第八行语句给出方均根速率：
                              （8）
其次,运用 Matlab 强大的画图功能，可以画出同一种气体分子( 氮气) 在不同温度下的分布曲线( 图 1)和不同气体分子( 二氧化碳、氧气、甲烷) 在同一温度下的曲线( 图 2)。程序中用到画图函数 ezplot。
图1、图2中实线为麦克斯韦速率分布曲线，虚线的 X 轴坐标为最大概然速率 的值。从图中曲线变化情况可以验证是气体分子质量 m 的减函数， 是温度 T 的增函数。由此可以说明在满足归一化条件下，温度升高时曲线变得平坦些，并向高速区域扩展。即温度越高，速率大的分子越多，这就是通常所说的温度越高，分子运动越剧烈的真正含义。
3基于MATLAB的理想气体定容比热容的回归分析
比热容是气体重要的热力学性质之一，在工程热力学和化工热力学的计算中，常常需要用到各种理想气体的定容热容，并通常使用某种数值计算公式进行计算[3]。为了在工程应用
中能更准确地进行热力学计算，本文用MATLAB对理想气体的定容比热容计算公式进行回归分析。
3.1 已有计算公式存在的问题
分析各种相关的文献，理想气体的定容比热容的计算公式存在公式不统一，且计算结果误差偏大的问题。以氧气为例，在273K~1 800K的温度范围内，文献[4]中给出的计算公式为： 
  （9）
文献[5]中给出的计算公式为：
                （10）
文献[6]中给出的计算公式为：（11） 
由此看出,氧气的定容比热容的计算公式之间存在差异，其计算结果和误差也各不相同（见
表1），这种情况在其它气体中也普遍存在。
表1的计算定容比热容Cv值与查表Cv值kJ/(kmol·K)
车太贤的电影
温度
T/K
按[4]计算
值
按[5]计算
值
按[6]计算
值
查    表
值
[4]相对误差
/%
[5]相对误差
/%
[6]相对误
差
/%
373
23.609
21. 878
30. 200
21. 216
11. 28
3. 12
42.35
473
25. 628
22. 849
31. 147
21. 600
18. 65
5. 79
44. 35
573
27. 785
23. 744
32. 003
22. 080
25. 84
7. 54
44. 94
673
30. 089
24. 561
32. 773
22. 560
33. 37
8. 87
45. 27
773
32. 547
25. 301
33. 462
23. 008
41. 46
9. 97
45. 44
873
35. 167
25. 964
34. 077
23. 456
49. 93
10. 69
45. 28
973
37. 958
26. 549
34. 622
23. 840
59. 22
11. 36
45. 23
1073
40. 925
27. 057
35. 102
24. 192
69. 17
11. 84
45. 10
1173
44. 079
27. 488
35. 523
24. 512
79. 83
12. 14
44. 92
1273
47. 426
27. 842
35. 891
24. 800
91. 24
12. 26
44. 72
1373
禾的组词一年级50. 975
28. 118
36. 209
25. 056
103. 44
12. 22
44. 51
1473
54. 733
28. 317
36. 484
25. 312
116. 23
11. 87
44. 14
1573
58. 708
28. 438
36. 721
25. 536
129. 90
11. 37
43. 80
平均值
63. 81
9. 92
44. 61
由表1可看出:按计算公式计算出的定容比热容值与查表值相比，其数值普遍相差较大。文献[5]提供的计算公式的最大误差为12. 26%，平均误差9.92%，且计算值均大于查表值，表明该计算公式不能很好地从数理统计方面对原始数据进行合理的描述；文献[4]和[6]的最大误差竟分别高达129.9%和45.44%，平均误差分别为63.81%和44.61%，疑是公式引用有误(例如公式中“-”误为“+”)，但因为文献[4]和[6]不仅没有勘误表，也未注明所引用公式的出处，还不能下此结论。考虑到上述文献所具有较大的影响力，为避免以讹传讹并提高回归计算公式的数理统计效果，有必要对理想气体的定容比热容重新进行数据回归分析，以得到更精确的数值及计算公式。
3.2 数据回归分析
理想气体的定容比热容为温度的单值函数，这种函数关系既可能是线性的，也可能是非线性的[7]。本文利用MATLAB尝试建立与温度T的线性关系。以氧气为例，用MATLAB6.5编程进行回归得：
                      b=  0. 6267  0. 0001
bint= 0. 6171  0. 6363
0. 0001  0. 0001
stats=0.9855　746. 1433　0. 000
                      s=0.0057
             
图3苏轼 水调歌头　 散点分布图                          图4　 残差分布图
由以上结果可见，相关系数：
          （12）
则R=0. 9927>0. 9，统计量：
    （13）
则此线性回归模型成立,回归公式为： =0. 6267+0. 0001TkJ/(kg·K)，剩余标准差为0. 0057。回归公式的计算值与查表值的对比见表2。可以看出，计算值与查表值的最大误差为2. 91%，平均误差(绝对值)1. 93%，明显优于上述文献提供的计算公式。
同理可得其它常见理想气体的定容比热容的回归公式，见表3。
表2　的回归公式计算的定容比热容值与查表值kJ/(kmol·K)
温度T/K
373
473
573
673
773
873
6plus
973
查表值
21.216
21.600
2. 080
22.560
23.008
23.456
23. 840
回归公式值
21.248
21.568
21.888
22.208
22.528
22.848
23. 168
相对误差/%
0. 15
-0. 15
-0. 87
-1. 56
-2. 09
-2. 59
-2. 82
温度T/K
1073
1173
1273
1373
1473
1573
查表值
24.192
24.512
24.800
25.056
25.312
25.536
回归公式值
23.488
23.808
24.128
24.448
24.768
25.088
相对误差/%
-2. 91
-2. 87
-2. 71
-2. 43
-2. 15
-1. 75
由上述回归分析结果看，最小的相关系数为0. 9781[9]，远大于0. 9，剩余标准差也接近于0，从数理统计的角度看，采用线性模型是完全合理的。同时，上述回归公式的计算值与相应的查表值吻合得很好，最大误差及平均误差都不大于5%。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。