第四章《概率》
一、知识网络
二、知识要点
1．确定事件发生的可能性
在某一条件下，事件发生的可能性是有大小的.不可能事件是永远不会发生的事件，其发生的可能性为0；必然事件是在一定的条件下必然发生的事件，其发生的可能性是100%.
2．不确定事件发生可能性
火炬之光2控制台不确定事件发生的可能性是不确定的，一个不确定事件发生的可能性能够用0到1之间的数表示.对于一个不确定事件，我们能够通过大量的试验来探究其发生可能性.根据不确定事件发生可能性，不确定事件又可分为很可能发生事件（发生的可能性很大）；可能发生事件（有一定的发生可能性）；不太可能发生事件（发生的可能性较小）.很可能发生事件仅仅发生的可能性非常大，但其发生的可能性不是1；不太可能发生事件虽然发生的可能性相当小，但其发生的可能性不是0.
3．频率与可能性
试验是估计可能性的一种方法.通过试验的方法用频率估计可能性应注意以下几点：
（1）通过试验的方法用频率估计可能性，试验要在相同的条件下实行，否则结果可能会受到影响.
（2）通过试验，用频率估计可能性，需要经过多次的试验，当频率逐渐稳定时，用稳定时的频率值估计可能性.
4．游戏的公平与不公平
一个公平的游戏应该是游戏的双方获胜的可能性相同，不公平的游戏是指游戏双方或获胜的可能性不同.较简单的游戏能够从通过度析的方法判断其是否公平；对于比较复杂且比较难判断公平性的游戏，我们能够通过做试验的方法来确定其公平性.
5．两种模型的概率
（1）等可能性事件的概率：
在一次试验中，假如不确定现象的可能结果只有有限个，且每一个结果都是等可能的，求这种类型事件的概率称为等可能事件的概率型.如摸球、掷硬币、掷骰子等都属于等可能性.
在等可能事件中， 假如所有等可能的结果为n，而其中所包含的事件A可能出现的结果数是m，那么事件A的概率P（A）=.
（2）区域事件发生的概率：在与图形相关的概率问题中，概率的大小往往与面积相关，这种类型的概率称为区域型概率.在区域事件中，某一事件发生的概率等于这个事件所有可能
结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积.
如P（小猫停留在黑砖上）=.
6．利用概率解决实际问题
用概率来解释生活中的实际问题的关键是能够准确计算出事件发生的概率，再结合事件发生的等可能性加以判断说明.
三、易混易错
1.混淆确定事件、不确定事件、必然事件和不可能事件之间的区别与联系.如，以下事件是必然事件的是（ ）
A.明天要下雨
B.打开电视机，正在直播足球比赛
C.抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1
D.买一张3D，一定会中一等奖
很多同学会错误地选择A，或B，或D.
而事实上，在特定的条件下，有些事件我们事先能够肯定它一定会发生，就是必然事件.因为明天到底是否下雨，今天我们还不能够知道，所以，问题中的“明天要下雨” 是一个随机事件；打开电视机所看到的节目与所在的时间、所收看的频道相关系，所以，问题中的“打开电视机，正在直播足球比赛”，也是一个随机事件；一枚正方体骰子有6个面，上面的点数分别为1、2、3、4、5、6，无论怎样实行抛掷，都是这6个数中的一个，因而“抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1”手机摄像头当电脑摄像头是一个必然事件；同样买一张3D，能否中一等奖也是不确定的.所以，此题准确应该选C.
2.混淆单一事件发生的可能结果和所有可能发生的结果之间的关系.如，一布袋中放有红、黄、自三种颜的球各一个，它们除颜外其他都一样，贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，试求贝贝两次都能摸到白球的概率.
很多同学会错误认为：因为一布袋中放有红、黄、自三种颜的球各一个，它们除颜外其他都一样，所以小亮从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球的概率均为.
而事实上，题目是要求贝贝两次都能摸到白球的概率，而不是每一次贝贝两次都能摸到白球的概率.因为自我介绍高中布袋中放有红、黄、自三种颜的球各一个，它们除颜外其他都一样，所以贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，这样两次摸出球的结果是：（红，红）、（红，黄）、（红，白）、（黄，红）、（黄，黄）、（黄，白）、（白，红）、（白，黄）、（白，白），由此贝贝两次都能摸到白球的概率是P（白，白）＝.
3.玩游戏受表面现象所迷惑.如，从一副扑克中分离出所有的红桃，并将红桃J记为11，红桃Q记为12，红桃K记为13，现将分离出来的红桃洗匀，背面朝上，从中任意抽取一张，数字是偶数的贝贝赢，奇数的京京赢.你认为游戏是否公平吗？
咋一看，数字只有偶数和奇数，所以这个游戏是公平的，而仔细分析一下这13个数字中有6个偶数，7个奇数，显然贝贝和京京获胜的概率是不等的，所以这个游戏不公平.
四、典型例析
1．游戏是否公平
和判断游戏是否公平题目主要有以下几种类型：一是与投掷硬币相关的游戏；二是数字相关的游戏；三是有转盘相关的游戏；四是抽牌相关的游戏等.解决问题的关键都是看游戏双方获胜的概率是否相同.
例1 有两套分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字的卡片，小明和小亮各自从一套卡片中，任意摸出两张，按照以下的游戏规则做游戏，请你判断是否公平.假如不公平，你认为偏向了哪一方？
（1）小明摸到的卡片上的数字都是偶数为胜，小亮摸到的卡片上的数字都是奇数为胜.
（2）若把两套卡片中的6都拿去，（1）的结论有什么变化？
分析：要判断游戏是否公平，主要比较小明、小亮获胜的概率的大小，假如概率相同，则游戏公平；否则不公平.
解：(1)因为P(小明获胜)=,P(小亮获胜)=, P(小明获胜)=P(小亮获胜),所以游戏公平.
(2) P(小明获胜)=, P(小亮获胜)=, P(小明获胜)≠P(小亮获胜),所以游戏不公平.偏向小亮.
例2如图1,小明、小华用牌面数字分别为1、2、3、4的4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面，若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜；这个游戏公平吗？请说明理由.
分析:要看游戏是否公平,则需要计算小明、小华获胜的概率，即计算一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数的概率和偶数概率.
解：这个游戏不公平.
理由：因为一次抽出两张牌的组合共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）六种情况.其中有4组中两个数的和是奇数，所以P(小明获胜)=,P(小华获胜)=,所以这个游戏不公平.
【评注】从以上两例看出,准确计算出游戏双方获胜的概率是判断游戏是否公平的关键.要判断某个游戏是否公平,应准确计算出游戏双方的概率.
2. 概率的计算
计算概率主要有两种类型,一类是摸球型概率的计算;二是与图形相关的概率计算,解决概率的计算问题,关键是掌握概率的意义以及计算的方法.
例3 (2006年无锡市中考试题) 在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，它们除颜不相同外，其余均相同．若把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 .
分析:此题是一道与摸球相关的概率计算试题,因为袋子中共有4个球,每个球被摸到的可能性相同,所以共有四种情况,而摸到红球可能有3种,所以 摸到红球的概率是. 解: 填.
【评注】此题是摸球型概率计算问题,解决问题的关键是理解此类问题中概率的计算方法.
例4(2006年浙江丽水市中考试题) 某商场利用转盘实行有奖促销活动,转盘扇形区域的圆心角及奖品设置如下:
特等奖 | 一等奖 | 二等奖 | 800字优秀作文三等奖 | 鼓励奖 | |
圆心角 | 1° | 10° | 60° | 90° | 199° |
奖品 | 冰箱 | 彩电 | 学习机 | 自行车 | 笔记本 |
小英有一次转盘的机会,能奖学习机的概率是__________.
分析:此题是一道转盘游戏相关的概率计算试题,观察表格信息可知,当转盘停止后,指针停止在60的扇形区域内,能够获得学习机.此题即计算指针停留在60扇形区域上的概率.
解:P(奖学习机的概率)=
【评注】解决此题需要准确理解题意,能从表格中获取准确的解题信息.
例5（2006年吉林）如图2，口袋中有张完全相同的卡片，分别写有中国批发，，，和，袋外有张卡片，分别写有和．现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答以下问题：
（1）求这三条线段能构成三角形的概率；
（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
分析：因为口袋中有张完全相同的卡片，随机从袋内取出一张卡片，则每张卡片 图2
被抽到的机会是相同的，用抽到的卡片上的数量与和组合，共有5种可能的情况：①1cm，，； ②2cm，4cm，5cm；③3cm，4cm，5cm；④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm.其中能构成三角形的有②2cm，4cm，5cm；③3cm，4cm，5cm；④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm四种；能构成等腰三角形的有④4cm，4cm，5cm；⑤5cm，4cm，5cm..
解：（1）P(能构成三角形)=；（2）P(能构成等腰三角形)=电信宽带到期查询.
【评注】此题是一道以三角形的构成为载体的概率计算问题,解决问题需要熟练掌握三角形三边形的关系以及等腰三角形的概念.
3.概率的应用
所谓概率的应用,就是通过计算某些事件概率来解决实际问题,作出准确决策.
例6(2006年贵州遵义中考试题) 一商场有A、B、C三种型号的甲品牌DVD和D、E两种型号的乙品牌DVD.某中学准备从甲、乙两种品牌的DVD中各选购一种型号的DAD安装到各个教室.
（1）写出所有的选购方案；
（2）假如（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号DVD被选中的概率是多少？
分析：从甲、乙两种品牌的DVD中各购买一台，因为甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，所以共有以下六种可能：（A，D），（B，D），C，D），（A，E），（B，E），（C，E），其中含有A的有两种可能，由此能够求出A型号DVD被选中的概率.
解：（1）选购的方案有：（A，D），（B，D），C，D），（A，E），（B，E），（C，E）.
（2）A型号DVD被选中的概率P=.
【评注】准确列出所有等可能的情况，从中出含有A型DVD的次数是求概率的关键.
例7如图3所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6；
（1）若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为，
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