广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一上学期期末
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知角2022,Z 180k k α-⋅∈= ，则符合条件的最大负角为（）A ．–42
B ．–220
C ．–202
D ．–158
2．若函数243x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则3πsin 2θ⎛⎫修改wifi密码
-= ⎪⎝⎭
（）
A ．5-
B ．5
-
C D 3．已知12
cos(),cos()33
αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（
）
A ．0
B ．1
2
-
C ．1
2
D ．0或±1
2
4．设集合{}2|42A y y x x a ==-+，{}2
|sin 2sin B y y x x ==-+，若A B A ⋃=，则a 的
取值范围是（）
A ．1,2⎛
⎤-∞ ⎝
⎦B ．7,2⎛
⎤-∞ ⎥
⎝
⎦C ．(],1-∞D ．[)
7,+∞5．已知函数()2log f x x =，()2sin g x a x =-，若[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得
()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（
）
A ．()(),23,-∞-⋃+∞
B ．(][),23,-∞-+∞
C ．()
2,3-D ．[]
2,3-6．已知5πsi 2n 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（）
A ．2125-
B ．1725-
C ．5
2-
D ．
25
7．函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>对任意实数x ，都有()8πf x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，则ϕ的最小值为
（
）
A ．π
B ．
π3
C ．
π4
D ．
π6
有关黑洞的电影8．已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（）
A ．[)3.5,4
B ．(]3.5,4
C ．(]
5,5.5D ．[)
5,5.5二、解答题
9．下列函数中，既为偶函数又在,02
π
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上单调递减的是（
）
A ．sin y x =
B ．sin y x
=C ．πcos 2y x ⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭D ．tan cos y x x
=-三、多选题
10．已知0log 2022log 2022a b <<，则下列说法正确的是（）
A ．1b a >>
B ．22a b --<
C ．22
2
b a a b
+>D ．若0m >，则
b b m
a a m
+<
+11．若函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且()()()2
sin cos f x g x x x +=+，则（
）
A ．()cos 2f x x =
B ．()sin 2g x x =
C ．()()()()f g x g f x <
D ．()()()()
f g x g f x >12．下列说法正确的是（
）
A ．()lg ,f x x =且()(),f m f n =则10
m n ⋅=B ．π
cos 34π
log 3,sin ,23
a b c -===的大小关系为b a c
>>C ．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
13π8
D ．函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<；成立的x 的取值范围是(,2)(1,)
-∞-+∞ 四、填空题13．π
tan
8
=______．
14．e 2.71828= 为自然对数的底数，则2ln sin 30e ︒=____________．15．已知,αβ∈R ，且满足22sin 1αβ-=，则4sin αβ+的值域为______.
16．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧 AB 的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.
五、解答题古风文雅的网名
17．已知ABC 为斜三角形．
(1)证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；(2)若1
sin cos 2
A A +=
，求tan A 的值．18．已知函数()e cos 0x
f x =-，e 为自然对数的底数e 2.71828= ．
(1)写出()f x 的单调区间；
(2)若()()()1212f x f x x x =≠时，证明：120x x +<．
19．已知函数()2
ππ2cos cos 33f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，x ∈R ．
(1)求函数()f x 的最小正周期；
(2)若12π,,,3x x m ⎡⎤奥运美女
∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，求m 的最小值．
20．已知函数()212x
x
f x a
叶璇霍建华=++
(1)若(1cos10tan10sin 50a ︒=︒︒
，证明()f x 为奇函数；
(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．
21．已知函数ππ()sin sin(π)4242x x f x x ⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且函数()y g x =的图象与函
数()y f x =的图象关于直线π
4
x =
对称．
(1)若R θ∃∈，使得()2cos g x θ<；成立，求x 的集合；
(2)若存在π0,2x ⎡⎤
我本将心向明月 奈何明月照沟渠意思∈⎢⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立，求实数m 的最大值和最小值
22．已知函数()ln f x x =，以下证明可能用到下列结论：(0,1)x ∈时，①sin tan <<x x x ；②ln 1x x <-．
(1)(0,1)x ∈，求证：1ln 1x x
<-；(2)证明：()111
sin
sin sin ln 2,N 23n n n n
+++<≥∈ ．
答案第1页，共12页
参考答案：
1．A
【分析】直接代入k 的值即可求解.
【详解】依题意，2022,Z 180k k α-⋅∈= ，取11k =时，有最大负角01118420222α-=⋅=- .故选：A.2．C
【分析】求出点A 的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得3πsin 2θ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值.
【详解】当240x +=，即2x =-时，4y =，所以()2,4A -，所以
cos 5θ=-
，由诱导公式可得3πsin cos 2θθ⎛⎫
-=-= ⎪⎝⎭
故选：C.3．C
【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3
αβαβαβ+=-=()2
cos cos cos sin sin 3
αβαβαβ-=+=
两式相加可得2cos cos 1αβ=，即1cos cos 2
αβ=.故选：C.4．A
【分析】分别求出集合A 、B 的范围，利用A B A ⋃=的性质即可求解.【详解】依题意，对于A 集合：
()2
24222424y x x a x a a =-+=-+-≥-，
所以{}|24A y y a =≥-；对于B 集合：
()2
2sin 2sin sin 11y x x x =-+=--+，
因为1sin 1x -≤≤，所以31y -≤≤，所以{}|31B y y =-≤≤；
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