第七部 立体几何专题
【考点1】立体几何判断题
公理1 如果直线l上有两个点在平面 上，那么直线l在平面 上.
公理2 如果不同的两个平面 、 有一公共点A，那么 、 的交集是过点A的直线. 公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面.
公理4 平行于同一直线的两条直线相互平行.
推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.
推论2 两条相交的直线确定一个平面.
推论3 两条平行的直线确定一个平面.
等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
线面平行判定：若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则线面平行.
观沧海原文及翻译线面平行性质：若线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则直线和交线平行. 线面垂直判定：若直线l与平面 上的两条相交直线都垂直，则直线l与平面 垂直.
推论：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的所有直线.
推论若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线平行.
面面平行判定：若平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行.
推论：若平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则面面平行. 推论：垂直于同一条直线的两个平面平行.
面面平行性质：若两个平行平面同时和第三个平面相交，则得到的两条交线互相平行.
推论：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面.
广西龙脊梯田面面垂直判定：若平面经过另一个平面的一条垂线，则面面垂直.
什么头什么气面面垂直性质：若面面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
1.（2019春15）已知平面 、 、 两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a ，b ，
c ，则直线a 、b 、c 不可能是（ ）
A. 两两垂直
B. 两两平行
C. 两两相交
D. 两两异面
2.（2017春15）过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 三角形 B. 长方形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形
3.（2016春18）设直线l 与平面 平行，直线m 在平面 上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直
4.（2014春13）两条异面直线所成的角的范围是（ ）
A. (0,)2
B. (0,]2
C. [0,)2
D. [0,]2
5.（2012春17）已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交
C. m 与n 平行
D. m 与n 异面、相交、平行均有可能 6.（2016文16）如图，正方体1111ABCD A B C D
中，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中 与直线EF 相交的是（ ）
A. 直线1AA
B. 直线11A B
C. 直线11A D
教师节祝福语简短精辟D. 直线11B C
【考点2】多面体相关题
（1）棱柱
如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平行， 那么这个多面体叫做棱柱.
侧棱不垂直于底面
侧棱垂直于底面底面是正多边形棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱.
底面是平行四边形
侧棱垂直于底面底面是矩形四棱柱平行六面体直平行六面体长方体
底面是正方形
棱长都相等正四棱柱正方体. 直柱体的表面积：22S S S ch S 侧全底底（h c 、分别为直柱体的高和底面周长） 棱柱的体积：V S h 棱柱底（h 为棱柱的高）
7.（2018春14）如图，在直三棱柱111ABC A B C 的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的 直线的条数为（ ）
A. 1
清洗油罐B. 2
C. 3
D. 4
8.（2018年15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马， 设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面 矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
9.（2016理6）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 边长为3，1BD 与底面 所成角大小为2
arctan
3
，则该正四棱柱的高等于
10.（2013春9）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1A B 与1B C 所成角的 大小为
11.（2015理4）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a
12.（2016春25）如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的体积为，底面边长为3， 求异面直线
1BC 与AC 所成的角的大小.
13.（2015春25）如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D ，1AB ，1D B 和平面ABCD
所成的角的大小为arctan
4
，求该四棱柱的表面积.
14.（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，11AA ，2AB AD ，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成角的大小.
15.（2013理19）如图，在长方体ABCD A B C D 中，2AB ，1AD ，1AA ， 证明直线BC 平行于平面D AC ，并求直线BC 到平面D AC 的距离.
16.（2013春25）如图，正三棱锥111ABC A B C 中，16AA ，异面直线1BC 与1AA 所成 角的大小为
6
，求该三棱柱的体积.
（2）棱锥
如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面 体叫做棱锥. 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个 棱锥叫做正棱锥.
正锥体的表面积：1
2
S S S ch S 侧全底底（h c 、分别为斜高和底面周长） 棱锥的体积：1
3
V S h
棱锥底（h 为棱锥的高） 17.（2018春7）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，3AB ，4BC ，15AA ，O 是
11A C 的中点，则三棱锥11A A OB 的体积为我要去流浪
18.（2012理14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC ，若
2AD c ，且2AB BD AC CD a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 体积
最大值是
19.（2013文19）如图，正三棱锥O ABC 的底面边长为2，高为1，
求该三棱锥的体积及表面积.
20.（2014年19）底面边长为2的正三棱锥P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ， 如图，求△
123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .
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