以2021 年浙江高考数学试卷为例，论其
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３２
２０２１年浙江高考数学试卷为例论其对学生数学运算素养的考查
以２０２１年浙江高考数学试卷为例，论其对学生数学运算素养的考查Һ王峥添㊀（浙江省安吉县高级中学，浙江㊀安吉㊀３１３３００）
㊀㊀ʌ摘要ɔ分析２０２１年浙江省高考数学试卷不难发现，直接能够 看 出答案的题目少了，需要通过计算才能得出结论的题目明显增多．纵观本次试卷当中的第５㊁８㊁１０㊁１８㊁２０㊁２１㊁２２题，归根到底都是对学生数学运算素养的考查，从侧面反映出在如今的高中数学教学过程中，教师必须加强对学生运算素养的培养，尝试以其为主要教学目标之一，对现有的教学过程进行优化和调整．在本文中，笔者就将以２０２１年浙江省高考数学试卷为案例，探究其对高中生数学运算素养的考查情况，并就在实际教学过程中如何培养学生的运算素养提出自己的观点．
ʌ关键词ɔ２０２１年浙江省高考数学试卷；核心素养；数学教学；运算素养
数学运算素养是高中数学核心素养的主要内容之一，也是近年来高考重点考查的部分．在２０２１年的浙江省高考数学试卷当中，这一部分的内容占比较高，足以说明命题组对学生此部分能力的关注和重视．
一㊁以２０２１年浙江省高考数学试卷为例，分析其对学生运算素养的考查
运算素养是高中数学核心素养的重要组成部分，其与数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象以及数据分析一同构成了高中数学的重要导向．在２０２１年数学高考中，我们发现浙江省数学试卷上出现了大量需要运算来寻求答案的题目，而过往那种可以通过答题技巧 看 出答案的题目 明显少了 ．
（一）以问题转换为基础，对学生的运算能力进行考查以选择题部分的第５题为例：若实数ｘ，ｙ满足约束条件ｘ＋１ȡ０ｘ－ｙɤ０
２ｘ＋３ｙ－１ɤ０{
，则ｚ＝ｘ－
１
２
ｙ的最小值为．
严格意义来说，这是一道最值问题，解题的突破点在于
如何将ｚ＝ｘ－
１
２
ｙ的最小值求解，转变为在限定区域内直线ｙ＝２ｘ－２ｚ与ｙ轴相交所能产生的极值．换言之，在这道题目的设定中，对学生运算能力的考查要以思维转换能力为基础，强调的是在属性结合的基础上对取值范围以及极值进行计算．
（二）对学生估算能力的考查
再以选择题部分的第８道题目为例：已知α，β，γ是大小并不相同的锐角，那么在ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβｃｏｓγ，ｓｉｎγｃｏｓα三个值当中，大于
１
２
的个数的最大值为．
这道题目以选择题的形式出现，强调对学生估算能力的培养．因为题目当中未知信息比较多，抽象信息较为明显，所以学生需要尝试如何通过估算从四个选项当中挑选出正确的答案．我们假设α＝β＝γ＝π
４
，那么ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβｃｏｓγ，ｓｉｎγｃｏｓα三个值显然都等于１
２
，所以最大值不可能是３．倘若α＝
π４，β和γ的角度都大于π４，就会有ｓｉｎαｃｏｓβ＜１２，ｓｉｎγｃｏｓα＞
１
２
，此时如果让β的取值逐渐趋近于直角，γ的取值逐渐趋近于
π４，那么就会有ｓｉｎβｃｏｓγ的值大于１２
，那么就可以估算出题目所求解的答案是２．（三）对学生逻辑思维能力㊁数据处理能力以及数学运算能力的考查
数学高考中最后一道选择题一向对于学生的逻辑思维能力要求较高，２０２１年浙江数学高考试卷也不例外．第１０题：已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝ａｎ
１＋ａｎ
（ｎɪＮ∗），记数
列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则（㊀㊀）
Ａ．
１
２
＜Ｓ１００＜３㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．３＜Ｓ１００＜４Ｃ．４＜Ｓ１００＜
９２
Ｄ．
９
２
＜Ｓ１００＜５该题为数列与不等式的综合题型，充分体现浙江高考试题的特点：叙述简洁㊁概念清晰㊁思维深刻㊁内涵丰富．本题考查的核心知识为数列递推关系㊁数列与不等式㊁数列与函数的关系㊁放缩法证明不等式．本题证明数列不等式思维跨度大㊁构造性强，需要较高的放缩技巧，一方面充满思考性和挑战性，另一方面考查学生的逻辑推理和数学运算的核心素养．
对数列与不等式㊁不动点等方面的考查是近些年的重点．自２００６年开始，２００８㊁２０１５㊁２０１６㊁２０１７㊁２０１８㊁２０１９年均有涉及，这类问题的解决策略往往是深入剖析其特征，抓住其规律恰当地进行放缩，难点在于如何把握放缩的度．在本题中主要是针对Ｓ１００的上下界估计，对于Ｓ１００的上
下界估计有不同的处理方法：
１．对下界的估计：
解法一㊀由题意可知｛ａｎ｝为正项数列，可知Ｓ１００＝ａ１＋
ａ２＋ ＋ａ１００＞ａ１＋ａ２＝１＋
１２＝３２
．
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３２
解法二㊀首先易得０＜ａｎ＋１＜ａｎɤ１．（针对数列单调性的
证明在后面说明）
对于ａｎ＋１＝ａｎ
１＋ａｎ
同时取倒数可得
１
ａｎ＋１
＝
１ａｎ＋１
ａｎ
，即１ａｎ＋１æèçöø÷２
＝１ａｎæèçöø÷２
＋１ａｎ＜１ａｎ＋１２æèç
öø
÷２
，则
１
ａｎ＋１
＜
１
ａｎ
＋
１
２
，通过迭代可知１
ａｎɤ１
ａｎ－１
＋１２＜１ａｎ－２＋１２æèçöø÷＋１
２＜ ＜１
ａ１＋１２
ˑ（ｎ－１）＝ｎ＋１
２．
即ａｎȡ
２
ｎ＋１
()
２
＞４（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝４１ｎ＋１－１
ｎ＋２
()
．
则Ｓ１００＝ａ１＋ ＋ａ１００＞４ˑ１２－１
３
(
)
＋ ＋４ˑ
１１０１－
１
１０２
(
)
＝４ˑ
１２－１１０２()＞２．
补充证明：针对｛ａｎ｝的单调性的证明：由题意可知ａｎ＋１＝ａｎ
１＋ａｎ，则ａｎ＋１－ａｎ＝
ａｎ
１＋ａｎ－ａｎ＝ａｎ－ａｎ－ａｎ
ａｎ
１＋ａｎ
＝－ａｎａｎ
１＋ａｎ
＜０，
因此０＜ａｎ＋１＜ａｎɤ１．
２．对上界的估计：裂项放缩：
首先易得０＜ａｎ＋１＜ａｎɤ１，由ａｎ＋１＝ａｎ
１＋ａｎ
可知ａｎ＋１＋ａｎ＋１ａｎ＝ａｎ，即ａｎ＋１＝ａｎ－ａｎ＋１
ａｎ＝
２（ａｎ－ａｎ＋１）２
ａｎ
＜
２（ａｎ－ａｎ＋１）ａｎ＋
ａｎ＋１
＝２（
ａｎ－
ａｎ＋１），
Ｓ１００＝ａ１＋ａ２＋ ＋ａ１００＜ａ１＋２（ａ１－ａ２＋ａ２－ａ３＋ ＋
㊀
ａ１００－
ａ１０１）
＝ａ１＋２ａ１－２ａ１０１
大话西游2名字＝３－２
ａ１０１＜３．
２０２１年浙江高考数学试卷的选择题最后一题是通过函
数关系构造递推关系，这和２０１５年的最后一题有相似之处，都是利用初始值构造一个有界的单调数列，利用函数和数列的相伴关系来生成问题让我们求解，这其中体现了函数思想㊁数列的放缩㊁不等式的运用．从这个角度而言，考题的确体现了对高中数学知识综合运用能力的全面考查．
（四）对学生公式推导运算能力的考查
除了选择题部分，２０２１年高考的解答题部分也增加了对学生运算能力的考查，如第１８题：
皮影戏阅读答案设函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ（ｘɪＲ）．（１）求函数ｙ＝ｆｘ＋
故宫的历史简介和资料π
２
()[]
２
的最小正周期．
（２）求函数ｙ＝ｆ（ｘ）ｆｘ－
π４(
)在０，π
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２
[]
上的最大值．这道题目的一个隐藏难点在于对ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ（ｘɪＲ）函数的变形．很多学生在实际考试过程中也是因为对潜在性变形公式的不了解，影响到后续的解题．事实上，ｆ（ｘ）＝
ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２２２ｓｉｎｘ＋２２ｃｏｓｘæèçöø
÷，因为２２本身是ｓｉｎ
π４以及ｃｏｓ
π４的等值，所以ｆ（ｘ）＝２(
ｃｏｓπ４ｓｉｎｘ＋ｓｉｎπ
４
ｃｏｓｘ)＝
２ｓｉｎｘ＋
π
４
(
)
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．那么根据这一转变后的函数形式，就可知求解的ｙ＝ｆｘ＋
π２()[]２
，即ｙ＝２ｓｉｎｘ＋
３π
４
()[]２
＝２ｓｉｎ２
ｘ＋３π４()
＝１－ｃｏｓ２ｘ＋３π
２
()＝１－ｓｉｎ２ｘ，如此就可以较为轻松地求解出这个
函数的最小正周期．
总结这一问的求解过程会发现，学生需要将主要时间用于公式的简化计算和推导方面，这也是间接对学生运算能力进行考查的过程．至于第二问，需要学生将函数解析式代入后，进行大量的计算．因为ｙ＝ｆ（ｘ）ｆｘ－
π
４
(
)
，本质上是一个复合函数，在定义域求极值过程中，应尽可能将其化简到比较容易感知的三角函数形式当中．
ｙ＝ｆ（ｘ）ｆｘ－π４
(
)
＝２ｓｉｎ（ｘ＋
π
４
）㊃２ｓｉｎｘ＝２（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）㊃ｃｏｓｘ＝２（ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ）
＝２
１２ｓｉｎ２ｘ＋１＋ｃｏｓ２ｘ２
()＝２１２ｓｉｎ２ｘ＋１２ｃｏｓ２ｘ()＋
２２＝ｓｉｎ２ｘ＋π４()＋２
２
．
如此，根据化简以后的公式，可以直接判断出函数在求解区间内的单调性以及极值情况．
（五）根据基础公式所展开的逆向运算能力以及分类讨论思想所附着的大量计算
高考当中的这类题目主要是以学生在教材当中所能直接接触到的公式㊁定理为基础，考验学生的逆向思维和反向运算能力，比如２０２１年浙江数学试卷的第２０题：
已知数列的｛ａｎ｝前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１＝－
９
４
且４Ｓｎ＋１＝３Ｓｎ－９．
㊀
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（１）求数列｛ａｎ｝的通项．
（２）设数列｛ｂｎ｝满足３ｂｎ＋（ｎ－４）ａｎ＝０，记｛ｂｎ｝的前ｎ
项和为Ｔｎ，若Ｔｎɤλｂｎ对任意ｎɪＮ＋恒成立，求λ的取值范围．
第一问是教师在高中阶段教学过程中，在数列部分必
然会提及的一类解题思想  分类讨论．学生分别从ｎ＝１以及两个角度来进行考虑，能够判断出｛ａｎ｝是完全满足等比数列求和公式的．
关于第二问，在｛ａｎ｝的通项已经得出的情况下，会有
ｂｎ＝
（４－ｎ）ａｎ３＝（４
－ｎ）－３ˑ３
４
()ｎ
[]３
＝（ｎ－４）ˑ
３
４
()ｎ
．
Ｔｎ＝－３ˑ
３４＋（－２）ˑ３
４
()２
＋（－１）ˑ３４()３
＋ ＋（ｎ－５）ˑ
３４()ｎ－１＋（ｎ－４）ˑ３４()ｎ．
３４Ｔｎ
＝－３ˑ３４()２
＋（－２）ˑ３４()３
＋（－１）ˑ３
４
()４
＋ ＋（ｎ－５）ˑ３４()ｎ
＋（ｎ－４）ˑ３
４
()ｎ＋１．
通过错位相减，则有：１４Ｔｎ＝－３＋３４
()２
＋３
４
()３
＋ ＋
３
４
()
ｎ
－（ｎ－４）ˑ
３４
()
ｎ＋１
＝－９４
＋９１６１－３
４
()ｎ－１
[]１－３４
－（ｎ－４）
３４
()
ｎ＋１
＝－９４＋９４－４ˑ
３
４()
ｎ＋１
－（ｎ－４）
３４
()
ｎ＋１
＝－ｎ
３４
()ｎ＋１
．即Ｔｎ＝－４ｎ３
４
()ｎ＋１
．
Ｔｎ
ɤλｂｎ
，即－４ｎ３
４
()ｎ＋１
ɤλ（ｎ－４）
３４
()ｎ
．
念奴娇 赤壁怀古 苏轼因为（ｎ－４）为系数，所以学生在实际进行变量分离时，需要分别考虑系数为正㊁负以及零的情况．
当ｎ＝４时，－４ｎ
３４()
ｎ＋１
＝－１６ˑ
３４()５
＜０，等式恒成立；
当ｎ＜４时，（ｎ－４）为负数，则有－４ｎｎ－４ˑ３４ȡλ，λɤ－３ｎ
ｎ－４，化简得：λɤ－３－１２
ｎ－４
，有λɤ１；
当ｎ＞４时，（ｎ－４）为正数，有λȡ－３－１２
ｎ－４，λȡ－３．
因此λ的最终取值范围为［－３，１］．
总结这道题的解题思路不难发现，大量的运算出现在
公式推导以及整理过程中，学生需要在保持思路清醒的情况下进行严格的分类讨论．在高考进行的过程中，这是非常考验学生耐心的过程．
二㊁高中阶段，如何培养学生的运算素养
通过对２０２１年浙江省高考数学试卷的分析我们不难发现，其对学生运算素养的考查是非常多维度的，这就要求教师在日常教学过程中多角度地培养学生此方面的能力以及技巧．
（一）加强概念教学，夯实运算基础
出现在高考试卷上的很多题目是以出现在教材上的基础概念㊁公式作为切入点的，而这些切入点往往也是高考试卷上的得分点．因此，教师在实际教学的过程中必须强化学生的概念记忆，并将概念的由来以及公式的推导过程全部分解㊁讲述到位，让学生能够推此及彼㊁举一反三，夯实运算基础．
（二）强化计算，提升运算速度
运算是素养，更是学生的基本功．尤其是在高考分秒必争的阶段，学生的运算速度很大程度上决定了他们的答题状态．所以在条件允许的情况下，教师在日常授课的过程中要培养学生的限时计算能力，同时加强对一些推导结论的记忆，这样在答题的时候能够帮助学生节约更多的时间．
（三）一题多解，丰富运算路径
这是能够培养和提升学生运算能力的重要手段．一题多解可以让学生从不同的角度切入问题㊁分析问题，发掘 题眼 ，同时让学生累积足够的解题方法，对于增强个体的知识记忆具有一定的指导意义．事实上，每一年高考结束之后，教师都可以引导学生分析本年度的高考试卷，尝试将大量的题目进行多解，理性分析考卷当中的考点．
（四）合理应对，积极备考
通过对２０２１年高考选择题最后一题的分析和研究，我们的确可以感受到一些方法和方向，对于压轴题不要太过受制于往年的影响，否则会限制自己的思维模式，可以汲取其中的命题思想和方法，把这种方法付诸我们的教学实践，兴许能够少走弯路．
（五）拓宽知识面，适当学习高等数学的相关知识高等数学有些结论对于我们问题的编制和课堂教学具有启发和指导作用，因此关注一些高等数学的结论可以帮助我们在教学过程中增强对问题本质的把握，至少有些问题结论可以生成得更好．无论是选择题的最后一道还是解答题的最后一道，如果有些高等数学的相关的知识，那么我相信对于这种所谓的 压轴题 ，我们一定能有更加丰富的 武器 去迎接它．
ʌ参考文献ɔ
［１］尹保全．高中数学核心素养之数学运算能力的培养［Ｊ］．中学生数理化（教与学），２０１９（１０）．
［２］徐建云．如何在高中数学教学中培养学生的运算能力［Ｊ］．科普童话，２０１９（４）．
［３］沈亮．高中数学学科核心素养的培养途径分析［Ｊ］．数理化解题研究：高中版，２０１７（１１Ｘ）．

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