2022年春季上海市普通高等学校招生入学统一考试
数学试卷
2022.1
考生注意:
1.考试时间120分钟，试卷满分150分；
2.本考试设试卷和答题纸两部分。全卷共4页。选择题部分需用2B 铅笔填涂在答题卡上， 非选择题部分需要用黑字迹的水笔或钢笔书写在答题纸上，做在试卷上一律不得分.
一、填空题（本大题满分共54分，其中1-6题各4分，7-12题各5分）
1已知复数 = 2 + i （其中i 为虚数单位），则z = _________ 2.已知区间A = （12），B = （1，3），则A ∩B = _________
3.求不等式 x−1
x < 0的解集为 _________
4.已知角α满足:tan α = 3，则tan （α + π 4
） = _________ 5设有二元一次方程组{x + my = 2mx +16y =8
，若方程组有无穷组解，则m 的值为 _________ 6.已知函数f （x ） = x 3，f -1（x ）为f （x ）的反函数，则f -1（27） = _________
7.已知有二项式(x 3+ 1 x )12，其展开式的则 x -4
前的系数为 _________
百里挑一于淼8.在三角形ABC 中，AB = 3，AC = 2，A = π
3 ，则△ABC 外接圆的半径为 _________
二、选择题（本大题满分共20分，每小题各5分）
13.以下函数的定义域为R 的是（ ）
（A ）.y = x -1 （B ）.y = x 1 （C ）. （ D ）
14.已知实数a ，b ，c ，d 满足:a > b > c > d ，则下列选项正确的是:（ ）
（A ）.a + d > b + c
（B ）. a + c > b + d （C ）. ad > bc
（D ）. ab > cd
试卷第1页共4页
15.如图所示，设上海海关楼的钟楼为正方体，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂.在0点到12点
中时针与分针的转动中（包括
．．．．．．12．．点．），相邻两面的时针出现两两相互垂直的情
．．0．点，但不包括
况的次数为（）
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（A）.0（B）.2（C）.4（D）.12
16.设{ a n }为等比数列，设S n和T n分别为（a n）的前n项和与前n项积，则下列命题正确的是: （A）.若S2022≥S2021，则{ S n}为递增数列（B）.若T 2022≥T2021，则{ T n}为递增数列（C）.若{S n}为为递增数列，则a 2022 > a 2021（D）若{ T n}为递增数列，则a2022 > a2021
三、解答题（本大题满分共76分，其中17~19题各14分，20题16分，21题18分）
17.（本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设有底面半径为1的圆柱OO1，AA1为圆柱的母线.
（1）若A A1= 4，设M为A的中点，求直线M1与圆柱上底面所成角；
（2）若过OO1的轴截面为正方形，求圆柱OO1的侧面积和体积；
18.（本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设有无穷数列{a n}，记{an}的前n项和为S n，其中a2 = 1.
贾立平作弊（1）若{a n}为等比数列，且S2 = 3，求
（2）若{a n}为等差数列，且S2n≥n，求公差d的取值范围.
试卷第2页共4页
19.（本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
上海某地区想要设计建造一个自然保护区。如图所示，在一块矩形绿地ABCD中（其中AB 为30米，AD为15米），过道EF将其分为两个主要区域（E，F分别是AB，CD边上动点）.监测区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，古树区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.
（1）若∠ADE = 20°，求EF的长（结果精确到0.1）；
（2）E点在线段AB上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到0.01）
20.（本题共16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
椭圆:x 2
a2
+ y2 = 1（a > 1），A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线x = a上有两个不相同的点C，D（C是第一象限的点）.
（1）设F是椭圆的右焦点，且∠AFB = π
6
寒食节纪念谁，求椭圆的标准方程；
（2）若C，D两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线BC与AD的交点是否在椭圆上，并说明理由；
（3）设直线AD与直线BC交椭圆于P，Q两点，且P，Q关于原点对称，求|CD|的最小值.
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哽
21（本题共18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）在定义城为R的函数f（k）上，定义下面两个变换: φ：f（x）→f（x） - f（x - t），
φ：f（x）→|f（x + t） - f（x）|，其中t > 0.
（1）若t = 1，f（x） = 2x，对f（x）进行φ变换后得到函数g（x），求方程g（x） = 2的解；（2）若f（x） = x2，对f（x）进行ω变换后得到函数h（x），解不等式:h（x）≥f（x）；
（3）已知定义R上的函数f（x）在（ - ∞，0）单调递增，在对画数f（x）先作φ变换再做ω变换得到函数h1（x），对函数f（x）先作ω变换再做φ变换得到函数h2（x），且对于任意t > 0，在R上有h1（x） =h2（x）成立，证明：函数f（k）在R上单调递增.
试卷第4页共4页
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