导学一：对角互补四边形模型（一）
知识点讲解 1：含有一对直角和一组等邻边的四边形
基本模型：
例题
1. [图形的性质；四边形] [难度： ★★★ ] 在对角互补，一组邻边相等的四边形中，通常可以通过旋转来解决问题。旋转变换是全等变换的一种形式，我们在解题实践中经常用旋转变换的方法来构造全等三角形来解决问题．
茌
（1）方法探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝45°
试探究线段BD、CE、DE可以组成什么样的三角形．我们可以过点B作BF⊥BC，使BF＝EC，连接AF、DF，易得∠AFB＝45°进而得到△AFB≌△AEC，相当于把△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB，请接着完成下面的推理过程：
∵△AFB≌△AEC
∴∠BAF＝ ，AF＝AE
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°
∴∠BAD+∠CAE＝
∴∠BAF+∠BAD＝45°
∴∠DAF＝45°＝
在△DAF与△DAE中
AF＝AE
∠DAF＝∠DAE
AD＝AD
∴△DAF≌△DAE
∴DF＝
∵BD、BF、DF组成直角三角形
∴BD、CE、DE组成直角三角形
（2）方法运用
①如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠EAF ＝45°试判断线段BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由．
②如图③，在①的基础上若点E、F分别在BC和CD的延长线，其他条件不变，①中的关系在图③中是否仍然成立？若成立请说明理由；若不成立请写出新的关系，并说明理由．
【参考答案】（1）∠CAE；45°；∠DAE；DE；（2）EF＝BE+DF，（3）
①中关系不成立，应是：EF＝BE﹣DF，
【题目解析】
解：（1）∵△AFB≌△AEC
∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°
∴∠BAD+∠CAE＝45°
∴∠BAF+∠BAD＝45°
∴∠DAF＝45°＝∠DAE
在△DAF与△DAE中
AF＝AE
∠DAF＝∠DAE
AD＝AD
∴△DAF≌△DAE（SAS）
∴DF＝DE
∵BD、BF、DF组成直角三角形
∴BD、CE、DE组成直角三角形
故答案为：∠CAE；45°；∠DAE；DE；
（2）：EF＝BE+DF，
理由：
延长CD到G，使DG＝BE，如图2
∵△ABE≌△ADG
∴AE＝AG，∠EAB＝∠DAG
∴∠EAF＝∠GAF，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴GF＝EF
∴EF＝BE+DF；
（3）：①中关系不成立，
EF＝BE﹣DF，
理由如下：
延长CD到G，使DG＝BE，如图3
∵△ABE≌△ADG
∴AE＝AG，∠DAG＝∠EAB＝90°﹣∠DAE
中秋节的来历50字左右∵∠DAF＝45°﹣∠DAE
∴∠GAF＝∠DAG﹣∠DAF＝（90°﹣∠DAE）﹣（45°﹣∠DAE）＝45°＝∠EAF，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴GF＝EF
∵GF＝DG﹣DF
∴EF＝BE﹣DF，
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1. [四边形；图形的性质] [难度： ★★★ ] 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，CD＝2，BC＝
4，则AC＝ ．
【参考答案】3．
【题目解析】解：过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，
∵∠AEC＝∠AFC＝∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠EAF＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝∠FAD+∠EAD＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，鹿卡角 北海道
∴四边形AECF是正方形
∴AF＝EC，
设BE＝x，则EC＝AF＝AE＝4﹣x，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴（）2＝（4﹣x）2+x2，解得：x＝1或x＝3（舍），
∴AE＝EC＝3，
∴AC＝3，
故答案为：3．
2. [图形的性质；四边形] [难度： ★★★ ] 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AC＝2，则BC+CD 的值是 ．
【参考答案】2
【题目解析】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
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∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN，BM＝DN，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AN＝CN＝AM＝CM＝，
∴BC+CD＝CM+BM+CN﹣DN＝2CM＝2，
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故答案为2．
知识点讲解 2：直角对三角板类型
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1. [四边形；图形的性质] [难度： ★★★ ] 如图，三角板的直角顶点P在射线OM上，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的角平分线
（1）若直角边分别与射线OA、OB交于点C、D，
①求证：PC＝PD；
②连接CD，交OP于点G，且CG：DG＝1：2，OD＝1，试求OP的长．
（2）若点P在射线OM上移动，一直角边与射线OB交于点D，OD＝1，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，使以点P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请直接写出OP的长．
【参考答案】
解:（1）①证明：如图1，过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP＝∠DEP＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠FPD﹣∠1＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠FPE＝90°，
∴∠FPD﹣∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC＝PD；
②解：设DP＝k，易证CD＝k．
∵CG：DG＝1：2，
∴DG＝k．
由△OPD∽△DPG知，＝，
∴＝，
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