2022高考数学立体几何—空间中的动点问题
立体几何—空间中的动点问题
专题综述
空间中的动点问题是指在一定的约束条件下，点的位置发生变化，在变化过程中出规律，将动点问题转化为“定点”问题、将空间问题转化为平面问题、将立体几何的问题转化为解析几何的问题等，目的是把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中去.立体几何中考查动点问题，往往题目难度较大，渗透化归与转化思想，对学生的逻辑推理能力要求较高.一般考查动点轨迹、动点的存在性、定值、范围、最值等问题，除了利用化动为定、空间问题平面化等方法，在几何体中由动点的变化过程推理出结果以外，也可以通过建系，坐标法构建函数，求得结果.
专题探究
探究1：坐标法解决动点问题
建立空间直角坐标系，使几何元素的关系数量化，借助空间向量求解，省去中间繁琐的推理过程.解题步骤与空间向量解决立体几何问题一致，建立适当的空间直角坐标系由动点的位置关系，如在棱上或面内，转化为向量的关系，用参数表示动点的坐标通过空间向量的坐标运算表示出待求的量若求最值或取值范围，转化为函数问题，但要注意自变量的取值范围.一般坐标法用于解决动点的存在性问题、求最值、求范围问题.
说明：对于求最值、范围问题，也可以直接通过几何体中的某个变量，构建函数，求最值或范围.
(2022湖北省宜昌市模拟) （多选）在正方体
1111ABCD A B C D -中，点为线段1AD 上一动点，则（  ）
A. 对任意的点，都有1B D CQ ⊥
B. 三棱锥1B B CQ -的体积为定值
C. 当为1AD 中点时，异面直线1B Q 与
所成的角最小
D. 当为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大
【审题视点】
以正方体为载体考查定点的定值、最值问题，正方体便于建立空间直角坐标系，可选择用坐标法解决.
【思维引导】
选项，可以用几何知识证明；
选项，设出点坐标，用坐标表示出异面直线成角的余
弦值或线面角的正弦值，求最值，得出点位置.
【规范解析】
解：对于：连接
，1.CD
因为在正方体1111ABCD A B C D -中， 1B D ⊥平面1ACD ，
CQ ⊂平面1ACD ， 1B D CQ ⊥，
中国画家
故正确； 对于：
平面11//ADD A 平面11BCC B ，
平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为正方体棱长，
1123111
326
B B CQ Q BCB V V a a a --==⨯⋅=，为定值，
故正确； 对于：
以为坐标原点，直线
分别
轴，建立空间直角坐标系如下图：
用一个参数表示动点的坐标，
并求出参数范围，即为函数定义域
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，
()[](),0,20,2Q x x x -∈，
则1(2,2,2)B ， ()2,2,0B ， (0,2,0)C ， 因此()12,2,B Q x x =---， ()2,0,0BC =-， 设异面直线1B Q 与
所成的角为θ，
则
当
托尔巴拉德
时，
，
当监理中标通知书
时，
当
时，
故当与1D 重合时，异面直线1B Q 与所成的角最小，
故不正确；
对于： ()12,2,B Q x x =---，  又
是平面11BCC B 的一个法向量，
设直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角为α，
则
，
所以当1x =时，sin α取得最大值63，而0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 因此α取得最大值，
即当为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大， 故正确. 故选.ABD
【探究总结】
典例1是一道典型的研究动点问题的多选题，难度中等，但能够反映出坐标法研究最值范围问题的思路.建系设坐标，写出参数范围 根据向量运算构造函数求最值.
转化为函数求最值，求出当函数取最值时的x 的值
(2021安徽省蚌埠市联考) 已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，
是
圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面
绕着轴1OO 逆时针旋转
(0)θθπ<<；后，边11B C 与曲线Γ相交于点.P
（1）求曲线Γ长度； （2）当2
π
θ=
时，求点1C 到平面
的距离；
（3）证明：不存在(0)θθπ<<，使得二面角D AB P --的大小为
两只小狮子.4
π 探究2：化动为定
点的位置在变化的过程中，有些量或位置关系是不变的，比如点到平面的距离不变，从而使几何体的体积不变；动点与另外一定点的连线与某条直线始终垂直，与某个平面始终平行.在证明体积为定值、证明位置关系时，要动中寻定，将动态的问题静态化：将动点转化为定点，寻动直线所在的确定平面，从而解决问题.
答题思路：
1.动点到平面的距离为定值：证明
平面
，动点到平面
的距离即为定点
到平面
的距离；
2.为动点，
为定点，证明
：证明所在平面与
垂直；
3.为动点，为定点，证明平面
：证明
所在平面与平面
平行.
(2021湖南省四校联考) 在正三棱柱
中，
,，
分别为的中点，P 是线段DF 上的一点．有下列三个结论：①
平面
；
②;③三棱锥
的体积时定值，其中所有正确结论的编号是 A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【审题视点】
求证关于动直线
的线面平行或线线垂直，三棱锥的体积为定值问题，要化动为定.
【思维引导】
证明动直线所在平面与已知平面平行；证明定直线与动直线
所在平面垂直；寻过
点与平面
平行的直线，即得出点到平面
的距离.
【规范解析】
解：如图，
对于①，在正三棱柱中，
，
分别为的中点，平面平面，
由平面，得平面，故①正确；对于②，
在正三棱柱中，
平面平面，
平面平面
平面，，
平面
平面
，故②正确；
对于③，
平面平面，
平面
到平面的距离为定值，
洗面奶排行而有为定值，故是定值,
故③正确．故选D．
【探究总结】喜迎国庆手抄报文字内容大全
线面平行，转化为面面平行
异面直线垂直，转化为线面垂
直
体积的定值问题，转化点到平
面的距离是定值，即通过线面
平行或面面平行，得出动点到
平面距离为定值

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