交流电路的功率
2.4 交流电路的功率
2.4.1　瞬时功率
如图2-30所示，若通过阻抗Z的电流为i=Imsinωt，则Z两端的电压为u=Umsin（ωt+φ），在电流、电压关联参考方向下，瞬时功率为
p=ui=Umsin（ωt+φ）×Imsinωt=UIcosφ-UIcos（2ωt+φ）  （2-54）
图2-30　正弦交流电路
在式（2-54）中，第一项为不变的部分，总是大于等于零，是耗能元件上瞬时功率；第二项为变化的部分，是储能元件上瞬时功率。由此可见，在每一瞬间，电源提供的功率一部分被
耗能元件消耗，另一部分与储能元件进行能量交换。
2.4.2　有功功率与功率因数
一个周期内瞬时功率的平均值称为平均功率，也称有功功率。
式中，λ=cosφ称为电路的功率因数。可见，正弦交流电路中的有功功率不但与电压、电流有关，还与电压和电流相位差的余弦值有关。
可见，在正弦交流电路中，电感、电容元件实际不消耗电能，而电阻总是消耗电能的。
有功功率是电路实际消耗的功率，即二端网络中，各电阻所消耗的有功功率之和。有功功率的单位是瓦特（W）。
2.4.3　无功功率
电路中的电感元件与电容元件要与电源之间进行能量交换，根据电感元件、电容元件的无功功率，考虑到与相位相反，于是
Q=（UL-UC）I=（XL-XC）I2=UIsinφ  （2-56）
单个电感元件，
QL=ULILsinφ=ULIL>0
单个电容元件，
QC=UCICsinφ=-UCIC<0
即电感的无功功率取正值，而电容的无功功率取负值，以便区别。在既有电感又有电容的电路中，总的无功功率为QL与QC的代数和，即
Q=QL-QC
无功功率的单位是乏（var）。
2.4.4　视在功率
在交流电路中，电压与电流有效值的乘积，只能表示电源可能提供的最大功率，叫视在功率，用字母S表示。即
S=UI=I2|Zthelastresort|  （2-57）
视在功率的单位是伏安（V·A），常用来表示电气设备的容量。
根据上面对有功功率P、无功功率Q和视在功率S的分析，将交流电路表示电压间关系的电压三角形的各边乘以电流I即成为功率三角形，如图2-31所示。
图2-31　功率三角形
由功率三角形可得到P、Q、S三者之间的关系为
P=UIcosφ
Q=UIsinφ
【例2-17】　已知电阻R=30Ω，电感L=382mH，电容C=40μF，串联后接到电压u=sin（314t+30°）V的电源上。求电路的P、Q和S。
解：电路的阻抗为
电压相量
因此电流相量
电路的平均功率
P=UIcosφ=220×4.4cos53°=583W
电路的无功功率
Q=股票期权UIsinφ=220×4.4sin53°=773var
电路的视在功率
S=UI=220×4.4=968V·A
由上可见，φ=53°>0，电压相位超前于电流相位。因此电路为感性。
【例2-18】　在RLC元件串联电路中，已知R=20Ω，L=100mH，C=40μF，电源电压u=311sin（314t+30°）V。求：①电流的瞬时值i与有效值I；②各部分电压的瞬时值及有效值；③P和Q。
解：求电路的阻抗
XL=ωL=314×100×10-3=31.4Ω
Z=R+j（XL-XC）=（20-j48.6）Ω
①电流的瞬时值与有效值
②电压的瞬时值及有效值
UR=RI=20×4.2=84V
因电阻的电压与电流同相，故
UL=XLI=31.4×4.2=131.9V
因电感上的电压超前流过的电流90°，故
因电容上的电压滞后流过的电流90°，故
③有功功率、无功功率
P=UIcosφ=220×4.2×cos（-67.6°）=352W
Q=UIsinφ=220×4.2×sin（-67.6°）=-854var
因无功功率小于零，所以电路呈现电容性质。
2.4.5　功率因数的提高
由功率三角形可得
cosφ=P/S  （2-58）
由式（2-58）可见，功率因数表示的是有功功率占视在功率的份额。而有功功率为P=UIcosφ=Scosφ，是用电设备（负载）吸收的功率。视在功率S=UI表示供电设备的容量，也是电源提供的功率。如果P=S，则cosφ=1，表明电源提供的功率全部被负载利用做了有用功。一般情况下，P总是小于等于S，所以cosφ的取值范围为0≤cosφ≤1。cosφ越大，电源提供的有功功率越多。可见，功率因数cosφ的大小，直接影响供电设备的有效利用。而决定cosφ大小的是负载的电压和电流的相位差φ，即与负载的性质有关。如在纯电阻电路中Q=0，P=S，λ=1，功率因数最高，电源提供的功率被负载全部利用了；在纯电容和纯电感电路中P=0，Q=S，λ=0，功率因数最低。
功率因数低会带来下面两个问题。
（1）电源设备的容量不能充分利用
交流电源设备（发电机、变压器等）一般是根据额定电压和额定电流进行设计、制造和使
用的。它能够提供给负载的有功功率为P=UNINcosφ。如果cosφ低，则负载吸收的有功功率低，电源的潜力没有得到充分发挥。例如额定容量1000kV·A的变压器，若负载的功率因数cosφ=1，则变压器额定运行时可供给有功功率1000kW；若负载的功率因数为0.5，则变压器额定运行时只能输出有功功率500kW。如果增加输出，则电流必定过载，此时变压器远没有得到充分利用。
（2）增加线路的损耗
由公式I=P/（Ucosφ）知，当电源电压U及输出有功功率P一定时，负载的功率因数cosφ越低，线路电流I越大。而线路的功率和电压损耗分别为P0=I2R0及U0=IR0（R0为线路电阻），线路电流I越大，两种损耗越大。功率因数越高，则线路电流越小，两种损耗越低。如果能够设法补偿感性负载的这部分无功功率，减少感性负载与电源之间的能量交换，就能使电源的容量被充分利用。所以，研究如何提高电路的功率因数具有实际意义。
提高电感性电路的功率因数，除尽量提高负载本身的功率因数外，还可以采取与电感性负载并联电容的办法。可以在电力用户变电所的高压侧并联电力电容，也可以在用户的低压进线处并联低压电容。
电路如图2-32所示。
图2-32　提高功率因数的电路
并联电容前后的电流相量如图2-33所示。
图2-33　相量
可见，并联电容后，φ2<φ1，因而，cosφ2>cosφ1，从而提高了功率因数。
因为
又因
IC=U/XC=UωC
所以
由此得
需要说明的是，提高功率因数是指提高整个线路的功率因数，感性负载自身的功率因数是无法改变的。并联电容后，感性负载所需的无功功率大部分或全部由电容供给，即能量交换主要或完全发生在电感与电容之间，因而电源设备的容量得到更充分利用，同时线路的总电流减小，降低了线路的损耗。一般将功率因数提高到0.9左右，因为若将功率因数提高到接近于1，则所需的电容量太大，电容成本增加，反而不经济。
【例2-19】　图2-32所示电路中，电压U=220V，感抗XL=8Ω，电阻R=6Ω，容抗XC=18Ω。求电流I1、IC、I，功率因数cosφ1、cosφ2。
【例2-20】　欲将功率为40W、工频电压为220V、电流为0.364A的日光灯电路的功率因数提高到0.9，应并联多大的电容器？此时电路的总电流是多少？
φ1=arccos0.5=60°
tanφ1=tan60°=1.732
φ2=arccos0.9=25.8°
tanφ2=tan25.8°=0.483
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【例2-21】　有一电感性负载，其功率P=10kW，功率因数cosφ1出卖我的爱歌词=0.6，接在电压U=220V的电源上，电源频率f=50Hz。
①如果将功率因数提高到cosφ=0.95，试求与负载并联的电容值和并联电容前、后的线路电流。
②如要将功率因数从0.95再提高到1，试问并联电容器的电容值还需增加多少？
解：①cosφ1交通工程专业就业前景=0.6，φ1=53°；cosφ=0.95，φ=18°
所需电容为
电容器并联前的线路电流
电容器并联后的线路电流
②如要将功率因数由0.95提高到1，则需要增加的电容值为
可见，在功率因数已经接近1时，若再继续提高，则所需的电容值很大。
知识拓展：日光灯电路分析
（1）日光灯电路的组成
日光灯电路主要由灯管、启辉器和镇流器组成。连接关系如图2-34所示。
图2-34　日光灯电路
①灯管　日光灯管由玻璃管和灯丝组成，它的内壁均匀地涂有一层薄薄的荧光粉，灯管内还充有惰性气体与水银蒸气。当管内发生辉光放电时，由于有水银蒸气，会放射紫外线，紫外线照射在荧光粉上发出可见光。灯丝由钨丝制成，其作用是发射电子。
②镇流器　镇流器是绕在铁芯上的电感线圈，灯管相当于一个电阻元件，在电路上灯管和镇流器相串联。在日光灯启动时，电感线圈产生足够的自感电动势，使灯管内的气体放电；在日光灯正常工作时，电源电压按比例分配，镇流器对灯管起分压和限流作用。不同功率的灯管应配以相应的镇流器。
③启辉器　启辉器是一个小型的辉光管，管内充有惰性气体，并装有两个电极；一个是固定电极，另一个是倒“U”形的可动电极。两个电极上都焊接有触头。倒“U”形的可动电极由膨胀系数不同的两种金属片制成。
（2）日光灯点燃过程
刚接通电源时，灯管内气体尚未放电，电源电压全部加在启辉器上，启辉器内固定电极、
可动电极间的氖气发生辉光放电并发热，倒“U”形的金属片受热膨胀。内层金属的热膨胀系数大，双金属片受热后趋于伸直，使金属片上的触点闭合，电路接通。电流通过灯管两端的灯丝，灯丝受热后发射电子，而当启辉器的触点闭合后，两电极间的电压降为零，辉光放电停止，双金属片经冷却后恢复原来位置，与两触点重新分开。
为了避免启辉器断开时因产生火花而将触点烧毁，通常在两电极间并联一只极小的电容器。电子显微镜原理
在双金属片冷却后触点断开瞬间，镇流器两端产生相当高的自感电势，这个自感电势与电源电压一起加到灯管两端，使灯管发生弧光放电，弧光放电所放射的紫外线照射到灯管的荧光粉上，就发出可见光。
灯管点亮后，较高的电压降落在镇流器上，灯管电压只有100V左右，这个较低的电压不足以使启辉器放电。因此，它的触点不能闭合。这时，日光灯电路因有镇流器的存在，所以形成一个功率因数很低的感性电路。

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