精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： | |||||||||||||||||||||||
授课类型 | C-年龄问题（倍数） | C -稍复杂的年龄问题 | C-年龄问题（假设） | ||||||||||||||||||||
授课日期及时段 | |||||||||||||||||||||||
教学内容 | |||||||||||||||||||||||
1、请默写等差数列的相关公式：求和公式、通项公式、项数公式等 2、回顾倍数的相关公式：和差、和倍、差倍 课堂导入 在生活中，经常会碰到亲戚朋友问我们的年龄。难道我们的年龄有什么问题吗？在数学中的年龄问题是学什么方面的内容的呢？ 知识点梳理 知识点1：年龄问题的定义 年龄问题，就是一类与计算年龄有关的问题。年龄问题一般是一种“差不变”的问题，解题时要善于利用差不变的特点。 知识点2：和年龄问题的特点 （1）、将差为一定值的两个数作为题中的一个条件； （2）、两个人的年龄差不变（定差）； （3）、两个或两个以上的人的年龄，一定减少（或增加）同一个自然数； （4）、定差两量，随着时间年份的变化，倍数关系也发生变化。 （5）、每人每年增长1岁。 分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。 知识点3：年龄问题的基本数量关系式： 几年前年龄=小年龄－（大年龄－小年龄）÷（倍数－1） 几年后年龄=（大年龄－小年龄）÷（倍数－1）－小年龄 一、专题精讲 题型1：转化为和差问题的年龄问题 例1：、妹妹二人的年龄和是33岁，四年后比妹妹大5岁．那么今年和妹妹各是多少岁? 分析：四年后比妹妹大5岁，意味着今年比妹妹大5岁，由于今年二人的年龄和是33岁，所以用和差问题的方法解。 解：的年龄：(33＋5)÷2＝19(岁)， 妹妹的年龄：(33－5)÷2＝14(岁) 脸圆适合什么发型答：今年19岁；妹妹14岁。 例2：今年13岁，弟弟今年9岁，当弟俩岁数和是40岁时，两人各应该多少岁？ 分析：用线段图显示数量关系，可以看出这道题实际上就是前面总结过的和差问题.弟俩的年龄差总是（岁），不管经过多少年，弟年龄的差仍是4岁，由图可见，如果从40岁中减去弟年龄的差，再除以2就得到所求的弟弟的年龄，也就可以求出的年龄了. 解：弟弟的年龄：（40-4）÷2=18（岁），的年龄：18+4=22（岁）． 答：弟弟18岁；22岁。 题型2：可以转化为和倍问题的年龄问题2021年牛年吉祥话牛气冲天 例1：母女二人的年龄和是42岁，母亲的年龄是女儿年龄的5倍．母女的年龄各是多少岁？ 分析：根据题意，可得母女二人的年龄和是42岁，母亲的年龄是女儿年龄的5倍，由和倍公式进一步解答． 解：女儿：42÷（5+1）=7（岁）； 母亲：7×5=35（岁）． 答：母女的年龄各是35岁、7岁。 题型3：可以转化为差倍问题的年龄问题 例1：爸爸今年42岁，女儿今年10岁，几年前爸爸的年龄是女儿的5倍？ 分析：要求几年前爸爸的年龄是女儿的5倍，首先应求出那时女儿的年龄是多少？爸爸的年龄是女儿的5倍，女儿的年龄是1倍，爸爸比女儿多5－1＝4 (倍)，年龄多42－10＝32 (岁)，对应，可求出1 倍是多少，即女儿当时的年龄。 解： ( 42－10 )÷( 5－1 ) ＝32÷4 ＝8 (岁) 10－8＝2 (年) 答：2年前爸爸的年龄是女儿的5倍。 例2：小华今年12岁，他妈妈今年48岁，多少年以前妈妈的年龄是小华的5倍？多少年以后妈妈的年龄是小华的3倍？分析：首先，不管是今年或今年前、今年后的若干年，小华和他妈妈年龄的差都是相同的，妈妈的年龄比小华大48－12=36（岁）。当妈妈的年龄是小华的5倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的5份，比小华多5－1=4（份），所以那时小华是：36÷4=9（岁），是在今年前12－9=3（年）。当妈妈的年龄是小华的3倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的3份，比小华3－1=2（份），所以那时小华是：36÷2=18（岁），是在今年后18－12=6（年）。 解：（48-12）÷（5-1）=9（岁） 12－9=3（年） （48-12）÷（3-1）=18（岁） 18-12=6（岁） 答：3年以前，妈妈的年龄是小华的5倍，6年以后，妈妈的年龄是小华的3倍。 题型4： 年龄和之间的问题 例1：三个人年龄之和是80岁，最小的一个20岁，他与最大的人年龄之和比其它两人年龄之和小8岁，那么这三个人的年龄各是多少? 分析：最小的一个与最大的人年龄之和比第二大的与最大的年龄之和小8岁，也就是说最小的人比年龄在中间的人小8岁，所以： 解：年龄在中间的人的年龄是：20+8=28（岁）， 最大的人的年龄就是：80-20-28=32（岁） 答：最小是20岁；中间的是28岁；最大的是32岁。 例2：小明与爸爸的年龄和是52岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄小2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？ 分析：把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份多2，根据和倍关系可解。 解： 小明的年龄是：（52－2）÷（4＋1）＝10（岁）， 爸爸的年龄是：52－10＝42（岁）， 小明与爸爸的年龄差是：42－10＝32（岁）. 答：小明与爸爸相差32岁。 例3：今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁和16岁．经过多少年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和? 分析：观察每过一年，爷爷的年龄与三个孙子年龄和的差的变化．相等时的图示所示： 解：三个孙子的年龄和是27＋23＋16＝66(岁)， 跟爷爷的差距是78－66＝12 (岁)．由于每过一年，三个孙子的年龄和增大3岁，而爷爷年龄增大1岁．因此每过一年，爷爷和三个孙子年龄和的差就缩小2岁．这样由于他们的差距一共是12岁，所以12÷2＝6(年)． 答：经过6年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄和。 二、专题过关 检测题： 1、小风爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？ 解：爸爸年龄：（72+6）÷2=39（岁）， 妈妈的年龄：39-6=33（岁） 答：今年爸爸39岁，妈妈33岁。 2、父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？ 解：（50-14）÷（5-1）=9（岁） 当时女儿9岁，14-9=5（年），也就是5年前。 答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍. 3、兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？ 解： 根据题意，作示意图如下 由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到 弟今年6＋4＝10（岁）， 兄今年10＋5＝15（岁）。 4、 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问：母亲今年多少岁？ 解：①母子今年年龄和： 78-6× 2=66（岁） ②母子6年前年龄和： 66-6×2=54（岁） ③母亲6年前的年龄：54÷（5+1）×5=45（岁） ④母亲今年的年龄：45+6=51（岁） 答：母亲今年是51岁。 5、甲，乙，丙，丁四人现在的年龄和是64岁，甲21岁时，乙是17岁；甲是18岁时，丙的年龄是丁的3倍。丁现在的年龄是多少岁？ 解： （64-18-14）÷（3+1） =32÷8 =8（岁） 答：丁现在的年龄是8岁。 6、“重阳节”那天，太白楼茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？ 解：两年之后，这25位老人的平均年龄为2000÷25=80(岁)，秀恩爱的短句8个字 其中年龄最大的老人为80+12=92(岁) 年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁)． 答：其中年龄最大的老人今年90岁。 7、四个人年龄和是77岁，最小的是10岁，他与最大的年龄之和比另外二人年龄和大7岁，那么最大的岁数是多少？ 解：（77+7）÷2=42 所以最大的岁数是42-10=32（岁）。 8、2001年父亲的年龄是和妹妹年龄之和的4倍，2007年，父亲的年龄是和妹妹年龄之和的2倍，问：父亲出生在哪一年？ 解：父亲在2007年的年龄应该是4线段再加6岁，而兄弟二人在2007年的年龄之和是1线段再加上2×6=12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2线段再加3岁，由：1段+12岁=2段+3岁，可以推知1段是9岁，所以父亲2001年的年龄是：9×4=36（岁），他出生于：2001-36=1965（年） 三、学法提炼 1、专题特点： 年龄问题问题涉及倍数问题（和差、和倍、差倍）的大部分的知识点，但又具有自己本身的特点，比如年龄差的定量关系。本专题，主要是融合倍数问题，进行探讨年龄问题转化成倍数问题的常见解题方法。因此，在解题的过程中需要借鉴到倍数问题的解题方法。 2、解题方法 （1）线段图法； （2）倍数问题的相关公式法： 几年前年龄=小年龄－（大年龄－小年龄）÷（倍数－1） 几年后年龄=（大年龄－小年龄）÷（倍数－1）－小年龄 （3）简单逻辑推理。 3、注意事项 （1）注意两者间的年龄之差是不变的，而两者之间的倍数却经常会发生变化； 中考加油的句子（2）每过一年或每往前一年，两者的年龄同增同减； （3）特殊情况下：其中一个的可能还没出生。 课堂导入 数学里，有时对象的增加，数字的大小并不影响他们之间的逻辑关系。我们来探讨一下，在人数超过两个人时的年龄问题。 知识点梳理 知识点： 在一些数学问题中要讨论年龄的变化和几个人的年龄的关系，我们知道随着时间的往后或往前推移，人的年龄就会增加或减少，如果有几个人，时间往后推移，几个人年龄的和随着年数增加而增加年数的几（按人数）倍，但这几个人年龄间的差却是不变的。在解答有关年龄变化的问题时这是必须牢记的。 一、专题精讲 题型1：两人的年龄问题 例：今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份） 解：由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为：55÷(3+2)×3=33(岁)。 答:哥哥今年的岁数是33岁。 题型2：三人的年龄问题 例：小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁。今年三人各是多少岁？ 解：一家人年龄的和今年与10年前比较增加了72－44=28（岁），而如果按照三人计算10年后应增加3×10=30（岁），只能是小芬少了2岁，即小芬8年前出生，今年是8岁，今年父亲是（72－8＋4）÷2=34（岁），今年母亲是34－4=30（岁）。 答：今年父亲34岁，母亲30岁，小芬8岁。 题型3： 四人之间的年龄问题 例1：办公室有甲、乙、丙、丁4位同志，甲比乙大5岁，丙比丁大2岁。丁三年前参加工作，当时22岁。他们四人现在的年龄之和为127岁。那么乙现在的年龄是多少岁？ 分析：可以通过表格进行分析。
则根据四人现在的年龄之和为127岁，列方程可得。 解：设乙现在为x岁，得 x+5+x+27+25=127， 解得x=35岁。 答：乙现在的年龄是35岁。 例2：一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁。想想看，今年每人的年龄是多大？ 分析：今年全家四口人年龄之和是100岁，那么十年前全家人口年龄之和应该减少10×4＝40岁；但100－65＝35，说明十年前还没有弟弟。这个差数5，正是弟弟的年龄，从100中减去和弟弟年龄就是父母年龄和。由此可知。 解： 弟弟今年： 10×4－（100－65）＝5（岁）； 今年： 5＋8＝13（岁）； 父亲今年： （100－5－13＋2）÷2＝42（岁）； 母亲今年； 42－2＝40（岁）。 答：弟弟今年5岁；13岁；父亲42岁；母亲40岁。 二、专题过关 检测题： 1、哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？ 解：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得， 兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁）， 妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。 2、10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍.15年后，吴昊的年龄是他儿子的2倍.现在父子俩人的年龄各是多少岁？ 解：①儿子10年前的年龄：（10+15）÷（7-2）=5（岁） ②儿子现在年龄：5+10=15（岁） ③吴昊现在年龄： 5×7+10=45（岁） 答：吴昊现在45岁，儿子15岁. 3、父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子今年11岁，多少年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍？ 解：今年父母年龄之和为38＋36=74（岁），儿子年龄的4倍是44岁，今年父母年龄之和比儿子年龄的4倍多74－44=30（岁），而每过一年父母年龄增加2岁，过一年儿子年龄增加数的4倍为4岁，就是说每过一年父母年龄的增加比儿子年龄增加数的4倍少4－2=2（岁），当父母年龄之和为儿子年龄的4倍时，要过30÷2=15（年）。 答：15年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍。 4、在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？ 解：①从四年前到现在全家人的年龄和应为： 58+4×4=74（岁） ②儿子现在几岁？ 4-（74-73）=3（岁） ③女儿现在几岁？3+2=5（岁） ④父亲现在年龄：（73-3-5+3）÷2=34（岁） ⑤母亲现在年龄： 34-3=31（岁） 答：父亲现在34岁，母亲31岁，女儿5岁，儿子3岁。 5、 小红、小橙、小黄、小绿四人今年分别是16，12，11，9岁．问：多少年前，小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍？ 解：现在小红、小橙的年龄和是16＋12＝28岁，小黄、小绿的年龄和是11＋9＝20岁，他们和的年龄差是28－20＝8岁，当小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍时，他们的年龄差是1份，即8岁，此时小红、小橙的年龄和是2×8＝16岁，小黄、小绿的年龄和是8岁，又因为每一组是两个人，所以往前推（28－16）÷2＝6年，即6年前，小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍． 三、学法提炼 1、专题特点： 这也是年龄问题的范畴，但本章节的角度跟第一章节稍有不同，前者是从年龄数量关系上进行探讨；本章节注意从年龄对象的角度去划分。年龄对象的增加或描述的抽象性，让年龄问题的难度有所增加。本专题通过对时间的变化、年龄的对象的增加的探讨，让我们增加对年龄问题的认识。 2、解题方法 （1）线段图法； （2）倍数问题的相关公式法： （3）图表法； （4）方程法。 3、注意事项 （1）注意在运用图表法时，要注意准他们之间的对应关系，用字母表示出相对应的式子； （2）当运用到方程法进行解题时，注意用字母表示数表示另外对象的年龄的式子。 课堂导入 我们都很喜欢回忆当年：想当年……在年龄问题里，也有“想当年”的问题，我们来看看是怎么回事？ 一、专题精讲 题型1：想当年（当我像你这么大时） 例1：陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”问王老师今年多少岁？ 分析：我们先要明白：如果我比你大a岁，那么“当我像你这么大时”就是在a年前，“当你像我这么大时”就在a年后。这样便可根据题意画出下图： 42-3=39（岁） 39÷3=13（岁）13×2+3=39（岁） 从图上可看出，a=13，进一步推算得王老师今年29岁。 例2：学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了．”求老师与学生的年龄． 分析：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39这4个数是一个等差数列，即学生年龄－3＝老师年龄－学生年龄＝39－老师年龄，我们可以先求出这个差是多少就可以了。 解：（39－3）÷3＝12（岁） 所以学生年龄是3＋12＝15（岁） 老师年龄是15＋12＝27（岁） 答：老师是27岁；学生是15岁。 例3：甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半．”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7．”问：甲、乙二人现在各多少岁？ 分析: 从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量．甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前．这几年就是甲乙的年龄差．因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半．即，乙今－年龄差＝甲今的一半 （1） 乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后．因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7．即 甲今＋年龄差＝2×乙今－7 （2） 把甲乙的对话用下图表示为： 由（1）得甲今＝2×乙今－2×年龄差 （3） 由（2）得 甲今＝2×乙今－7－年龄差 （4） 由（3）（4）年龄差＝7（岁） 从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差，乙现在的年龄相当3个年龄差．乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差．甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁．乙现在年龄： 7×3＝21（岁），甲现在年龄： 7×4＝28（岁） 答：甲现在28岁；乙现在21岁。 题型2：倍数假设 例：今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？ 解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。 事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为 （20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁）， 父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。 解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。 20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。由 1段＋20=2段＋10， 求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。 题型3：其他假设 例1：兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大．有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍．”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大．”这时他们俩各几岁？ 分析：通过“弟弟说：‘不对，再过3年我和你一样大．’”知道哥哥比弟弟大3岁，再通过“哥哥对弟弟说：‘再过3年我的年龄就是你的2倍．’”就可以推算。 解：哥哥现在比弟弟大6岁，这样得出弟弟是6岁，哥哥是6＋3＝9岁． 例2：王叔叔对小明说：“我15年前的岁数和你6年后的岁数相同；7年前，我的年龄是你的年龄的8倍。”小明今年多少岁？王叔叔今年多少岁？ 分析：通过理解题意，两人的年龄之间存在着倍数关系，因此需要出年龄差的关系，到年龄差就可以较好地解决问题。 解：两人现在的年龄差：15+6=21（岁） 小明七年前的年龄：21÷（8-1)=3(岁） 小明现在的年龄：3+7=10（岁） 王叔叔的年龄：3×8+7=31（岁） 答：小明今年10岁，王叔叔今年31岁。 二、专题过关 检测题： 1、一天张老师对小芳说：“我像你那么大时，你才1岁。”小芳说：“我长到您这么大时，您已经43岁了。”问他们现在各有多少岁？ 解：小芳从1岁到她现在年龄，从她现在年龄到张老师现在年龄，和张老师从现在年龄到43岁，这中间的间隔是相等的，正好都等于他们俩人的年龄差，所以， 张老师与小芳的年龄差是（43－1）÷3＝14（岁）。 可知小芳现在年龄为：1＋14＝15（岁）， 张老师现在年龄为：15＋14＝29（岁）。 2、女儿今年12岁，妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经60了！”问：妈妈12岁时，时哪一年？ 解：母女年龄差是（60-12）÷2=24 2009-24=1985 答：妈妈12岁是1985年。 3、 甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？ 解：当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，可知年龄差为：63÷（5+4）=7(岁）， 所以现在甲年龄为：7×4=28(岁），乙年龄为：7×3=21(岁）． 答：甲士28岁，乙是21岁。 4、李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等，李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁，李伟和张磊两人今年各多少岁？ 解：由题中“李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等”这个条件我们可以知道李伟比张磊大： 5+8=13（岁）；又由题中“李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁”可以知道他们两人今年的年龄和是：36+3-4=35（岁），再根据和差关系就可以解答了．李伟的年龄：（35+13）÷2=24（岁）， 张磊的年龄：35-24=11（岁）． 5、甲乙两人都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大．有一天甲对乙说：“再过17年我的年龄就是你的3倍．”乙说：“不对，再过15年我和你一样大．”今年他们俩分别是多少岁？ 解：设乙今年的年龄是x，那么甲今年的年龄就是x+15岁； 根据题意可得： x+15+17=3x， 2x=32 x=16； 甲今年的年龄是：x+15=16+15=31（岁） 答：今年甲乙他们俩各自31岁，16岁． 6、甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问：甲、乙二人现在各多少岁？ 分析：从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量. 甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前.这几年就是甲乙的年龄差.因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半. 即 乙今年龄差甲今 (1) 乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后.因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7. 即 (2) 把甲乙的对话用下图表示为： 由(1)得甲今乙今年龄差 (3) 由(2)得 甲今乙今年龄差 (4) 由(3)(4)年龄差=7(岁) … 从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差.乙现在的年龄相当3个年龄差. 乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差.甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁. 解：①乙现在年龄：7×曹云金吐槽大会3=21(岁) ②甲现在年龄：7×4=28(岁) 7、甲、乙、丙三人现在的年龄和是岁，当甲的年龄是乙的年龄的一半时丙岁，当乙的年龄是丙的年龄的一半时甲岁．现在甲、乙、丙各几岁？ 解：假设甲、乙、丙现在的年龄分别为岁、岁、岁，根据题意有： ，解得． 故现在甲、乙、丙分别为8岁、15岁、27岁． 三、学法提炼 1、专题特点： “如果”“假如”等词反映出，数学既是准确抽象又是假设的美学。当年龄问题中的暗示时间的语句为：“当我像你这样大时”，年龄问题开始进行了“穿越”，需要我们通过把握当年年龄对象之间的年龄差关系，从而解决问题。这种涉及到假设型的年龄问题是本专题主要探讨的题型。 2、解题方法 （1）线段图法； （2）图表法； （3）方程法。 3、注意事项 注意判断清楚假设时的年龄关系（例如和差积商等）；然后推理当下或未来，年龄对象的年龄数量关系，从而抓住关键而解决问题。 课后作业 1、今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，过8年，张老师的年龄是小华年龄的3倍，小华今年多少岁？ 解：今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，是把今年小华年龄的作为1份，今年张老师的年龄是这样的5份，张老师今年的年龄比小华多5－1=4（份），过8年，张老师的年龄是小华年龄的3倍，是把那时小华的年龄作为1份，张老师那时的年龄是这样的3份，张老师那时的年龄比小华多3－1=2（份）。今年和过8年后张老师与小华年龄差的岁数是相同的，因此过8年的1份是今年的4÷2=2（份），那么，今年的1份的岁数是8÷（2－1）=8（岁），就是今年小华8岁。 答：今年小华8岁。 2、今年大华20岁，大明18岁，小芬12岁，小玲8岁，多少年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍？ 解：今年大华、大明年龄的和的2倍是（20＋18）×2=76（岁），小芬、小玲年龄的和的3倍是（12＋8）×3=60（岁），大华、大明年龄的和的2倍比小芬、小玲年龄的和的3倍多76－60=16（岁），而每过一年，大华、大明增加年龄的和的2倍比小芬、小玲增加年龄的和的3倍少2×3－2×2=2（岁），使大华、大明年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍，过的年数是16÷2=8（年）。 答：8年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍。 3、当叔叔的年龄与他侄子今年的年龄相等时, 侄子的年龄为10岁, 当侄子的年龄与他叔叔今年的年龄相等时,叔叔已经37岁.求今年叔侄各自的岁数 解：叔侄二人的年龄差不变。 叔侄年龄差 (37-10) ÷3=9(岁) 侄年龄 10+9=19(岁) 叔年龄 19+9=28(岁) 答:今年叔叔28岁,侄子19岁。 4、学生问老师今年多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了。”那么这位老师今年多少岁？ 解：年龄差：（39-3）÷3=12(岁） 老师的年龄：39-12=27（岁） 答：老师今年27岁。 5、小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？ 解：经过15年，小英和小明的年龄和比老师多增加15岁，所以老师今年年龄的一半是15岁，即小英和小明今年的年龄和是15岁，小英今年的年龄是（15-3）÷2=6（岁）. 6、(北京市第四届“迎春杯”决赛)甲、乙、丙三人平均年龄为岁，若将甲的岁数增加，乙的岁数扩大倍，丙的岁数缩小倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？ 解：当遇关系复杂时，将条件分别列出，再进行解决。 甲增加7岁后，三人总年龄是42×3+7=133岁，并且这时丙是甲的2倍，甲是乙的2倍，丙是乙的4倍，所以这时乙的年龄是（42×3+7）÷（1+2+3）=19(岁)，所以丙的年龄是19×4=76(岁) 7、（第一届祖冲之杯数学邀请赛) 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将岁．”那么，甲现在( )岁，乙现在( )岁． 解：根据题意画出示意图： 当乙5岁时，甲的年龄等于乙现在的岁数，用线段AC表示，可知甲、乙二人年龄差等于线段BC；甲、乙现在的岁数差等于EF，当乙的岁数等于甲现在的岁数(线段DF表示)，甲将50岁(线段GI表示)，此时年龄差等于线段HK，因为年龄差是不变的量，所以BC=EF=HI,根据图，GI=5+BC+EF+HI,所以甲乙二人的年龄差为：(50-5)÷3=15(岁)，乙现在的岁数是：15+5=20(岁)，甲现在的岁数是：20+15=35(岁)。 8、（第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛) 当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时，他们两人的年龄和是，弟弟现在多少岁？ 解：如图所示，用实线段分别表示弟弟和哥哥现在的年龄，两条实线段的长度之差表示年龄差．由于他们的年龄差不变，所以可以在图上确定出当“哥哥的年龄是弟弟现在的年龄”时弟弟的年龄，和当“弟弟的年龄是哥哥现在的年龄”时哥哥的年龄，倍数关系一目了然． 假设“当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的3倍”时弟弟的年龄为1份，则弟弟现在的年龄是3份，哥哥现在的年龄是5份，哥哥和弟弟的年龄差是2份．那么“当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时”，哥哥的年龄是5+2=7份，那么线段代表的年龄是：48÷(5+7)=4(岁)．所以弟弟现在的年龄是：4×3=12(岁) 题目思考： 晓港湾小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗．如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有8面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？ 1、我们能否能否用边长乘4来求呢？ 2、如果画出图来再数，好像也不够快？是否有更好的方法。 分析：此题是方阵问题。在计算旗子的总数，可以运用方阵问题中的求四周总数的公式。“四周总数=（边-1）×4”即可求。 解： （8-1）×4=28（面） 答：一共要准备28面彩旗才行。 | |||||||||||||||||||||||
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