第六章
讨论（A） 债务偿还
1、 某人投资一笔款项，以获得n年的年末付年金，每次付1，预定年利率为i。第1年，这笔投资实际投
资利率为i，年末获得额度为1的付款，而在第2年，利率增至j，j>i，若：（1）第3年开始直到第n年，年利率又降至i；（2）直至n年末，利率保持j。计算变化后这两种情形下的年付款额。
解题提示：见讲义
2、 某人贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12％，贷款偿还时间及数额为第1年末400元，第
5年末800元，第10年末偿还剩余的部分，计算第10年末的偿还额及其共包含的本金和利息。 解：每季度的实际利率为12%/4=3%，偿还款发生在第4季度末、第20季度末和第40季度末，设最后一次偿还款为P，各次偿还款的现值之和等于贷款额，故而有：
1000=400（1.03）-4+800（1.03）-20+P（1.03）-40
=355.39+422.94+0.30655P
P=657.86
首期偿还款中的利息部分为：1000【（1.03）4-1】=125.51（元）
因而首期偿还款中的本金部分为：400-125.51=274.49（元）
第一次还款结束后，贷款余额为1000-274.49=725.51（元）
在第二次还款时所生利息为：725.51【（1.0316）-1】=438.72（元）
因而第二次偿还款中的本金部分为800-438.72=361.28（元）
第三次偿还款中的本金部分为725.51-361.28=364.23（元）
则最后一次还款中的本金部分为364.23元，利息部分为657.86-364.23=293.61（元）
3、 甲购买住房，贷款2000 000元，分三次领取。办理贷款后，首次领取1000 000元，半年后又领取500
000元，1年末又领取500 000元。贷款按每年计息2次的年名义利率12％进行分期按月偿还，为期30年。前5年每月偿还额是其后各年每月偿还额的一半。首期偿还款发生在第3年初，计算第12次偿还款的数量。
解：两年末，贷款积累值为：
1000 000采购经理人指数（1.0750）4+500 000(1.075)3+500 000(1.075)2=2354430.10(元)
这个积累值是分期还款额在贷款第3年初的现值，设前5年每次偿还额为P，则有
0.01 2 0.01 2354430.10 Pav60
P=16787.12（元）
第12次付款发生在第一个还款年度，所以应该为P的值，即16787.12元。
4、有两比贷款的本金均为10 000元，期限均为5年，但偿还方式不同：
第一笔贷款：采用偿债基金法偿还，贷款利率为6％，偿债基金利率为5％。
第二笔贷款：采用等额分期法偿还。
试计算当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。
解：无论选择哪一笔贷款，如果借款人在每年末都要支付相等的金额，那就可以认为两笔贷款对借款人而言是等价的。
对于第一笔贷款，借款人在每年末需要支付的金额为
L0(i 11 ) 10000(0.06 ) 2409.75(元）snjs50.05
对于第二笔贷款，假设其利率为i，则借款人在每年末需要支付的金额为：
R=L010000 2409.75 i 0.06552 aa
5、一笔贷款的期限为2年，年实际利率为6％，每季度等额偿还一次，如果第一年末偿还的本金为2 000元，试计算在第二年末应该偿还的本金。
解：已知年实际利率为6%，所以季度实际利率为i (1 0.06)0.25 1 0.01467
第一年末的付款也就是第4次付款，由式（8.1.6）可知，第一年末的付款中偿还的本金为
Rvn k 1 R(1.01467) (8 4 1) 0.9298R
令上式等于第一年末偿还的本金2000元，得每次偿还的金额为R=2000/0.9298=2151（元）
再次应用上式可得在第二年末（第
Rvn k 1 2151(1.01467) (8 8 1) 2120(元）
事实上，如果注意到每次偿还的本金Rv
础，计算出第8次偿还的本金。
第4次偿还的本金为P4
所以P88 8 1 Rv8 4 1 Rv5 第8次偿还的本金为P Rv 8 Rvn k 18次付款）偿还的本金为是一
个几何级数，就可以直接以第4次偿还的本金为基44 P（1 i） 2000（1.01467） 2120（元） 4
讨论（B）
1汽车仪表灯、 甲年初从乙银行贷款10 000元，分国产车哪个品牌好10年偿还，年利率10％，每年末的还款额是前一年的1.2倍。
计算前4年各期偿还款中的本金部分、利息部分和贷款余额。
解：由题意得：
1.2101 （）10000 R【】 13.87182R110.1 0.2
10000R1 720.89（元）13.87182
I1 iB0 0.1*10000 1000(元）
P（元）1 R1 I1 720.89 1000 279.11
B0 B0 P（ 279.11） 10279.11（元）1 10000
R2 1.2R1 1.2*720.89 865.07（元）
以此类推
P（元）2 162.84
B2 10441.95（元）
R3 1.2R2 1038.08（元）
I3 iB2 1044.20（元）
P（元）3 6.12
B3 10448.07（元）
R4 1.2R3 1245.70（元）
I4 iB3 1044.80（元）
P（元）4 200.89
B4 10247.18（元）
2、 某人从银行贷款饲养鸽子20 000元。本金部分按20年期等额年金形式偿还，每次还本金的同时，偿还贷款的当期利息，年利率为3％。10年后，银行将这种收款权卖给另家公司，卖出价格为P，使得买入公司在前5年可获5％的年收益，而后5年可获4％的年收益，计算P。
解：第1年末贷款余额为19000，第2年末为18000……，每年还款中本金部分为1000元，利息部分： 第1年末为20000*3%
第2年末为19000*3%....
P 1000[a50.05 (1.05) 5a50.04] [150a50.05 30(Da)50.05 30(1.05) 5(Da)50.04] 1000[4.3295 (0.78353)(4.4518)] [150(4.3295) 30(
9191.55(元）
3、 某贷款年利率为10％，期限为10年，采取分期方式连续偿还。前5年每年还款1 000元，
后5年没面还款2 000元，计算第5年偿还的贷款的本金部分和利息部分。
解：根据未来法计算第ibm 微软4年末的贷款余额，分为两部分，一部分是后5年的偿还款现值，这一部分在第5年内不随时间推移而变化， 5 4.32955 4.4518) 30(0.78353)()]0.050.04
（） 20005(1.1)即V14 1 20001 v5 (1.1) 1 7231.48(元）
这部分本金在第5年产生的利息为：7231.48*0.1=723.15（元）
另一部分是第5年偿还款的现值，这一部分在第5年内随时间推移而变化，即V（） 1000241 t
这部分贷款余额在第5年内产生的利息为：
1000 1 tdt01
1000 1 v1 tdt01
1000(t
1000(1 1 e (1 t))|10 )1 v
46.18(元）
第5年内还款额1000元中的利息部分为：
723.15+46.18=769.33（元）
本金部分为：1000-769.33=230.67（元）
这里明确的是，贷款本金中不变的部分所产生的利息用i计算而不是瞬时值，不用 计算，而可变部分所生的利息要通过积分值将各瞬时值进行积累。另外，注意不能将不变部分与1000简单相加再与 相1
乘即 （7231.48+1000）作为利息值，实际计算时往往会产生这种错误，原因是没有考虑1000这一部分在一年内是递减的。
4、设某人年初向银行借款10 000元，借款年利率为8％，每年复利1次，期限为6年，还款方式有以下3种：
（1）每年年末分期等额偿还；
（2）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，偿债基金存款年利率也为8％；
（3）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，偿债基金存款年利率为6％。求3种方式中每年的支付量及每年的利息支付量。
解：（1）因为a a60.08 4.62288，并且当初始贷款为a时，每次的支付量为1碧绿碧绿的什么，因此当初始贷款
1000010000 2163.15(元）a4.62288为10000元时，每次的偿还量应为：
其中第1次所还利息为：10000 ia i 10000 800(元）a第2次至第6次所还利息分别为：
100003.9927 0.08a50.08 800 690.95(元）a60.084.62288
100003.3121 0.08a40.08 800 573.17(元）a60.084.62288
100002.5771 0.08a30.08 800 445.98(元） a60.084.62288
100001.7833 0.08a20.08 800 308.60(元）a60.084.62288
100000.9259 0.08a10.08 800 160.23(元）a60.084.62288
（2）由于偿债基金存款利率与贷款利率相同，都为8%，这时的偿债基金法与分期偿还法等价，因此，每年的支付量也为2163.15元。 每次的利息支付量都等于10000 ia i 10000 800(元）a10000
60.06
1 (0.08 0.06)a60.0610000 2233.64(元）4.4770（3）由于偿债基金存款利率与贷款利率不相同，这时偿债基金法雨分期偿还法并不等价，这种情况下每年的支付量为：10000 an j
5、设某人年初向银行贷款10 000元，期限6年，还款方式有以下3种：
（1）以贷款年利率6％，每年年末分期等额偿还；
（2）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，贷款年利率为6％，偿债基金存款利率
也为6％；
（3）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，贷款年利率为8％，偿债基金存款年利率为6％。计算3种情况下，第4次偿还后贷款余额和第4期内的本金支付量或净本金支付量，并比较其结果。 解：（1）L=10000，i=0.06，n=6
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