排列组合中的分组分配问题
一、内容回顾
1.不同元素的分组与分配问题
n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问
新西兰牛初乳排行榜题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 2.相同元素的分组与分配问题
相同元素的分组与分配问题是排列组合中的一个重点和易错点。要仔细审题，注意元素相同这一特点，通常要使用隔板法来解决。另外，某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的思想方法来解决。
二、典型例题
题型一 基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.
解析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是902
22426=C C C (种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数3
3A ，
所以分法是153
3
22
2426=A C C C 种. (2)先分组，方法是332516C C C ，那么还要不要除以3
3A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此
不会出现相同的分法，即共有603
32516=C C C 种分法.
(3)分组方法是301
11246=C C C 种，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一
本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是
152
2
11
1246=A C C C 种. 通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法.
结论1： 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为p m m m ,,,21 其中k 组内元素数
目相等，那么分组方法数是
k
k
m
m m m m n m m n m n A
zippo专用油C C C C p
p
L 321211---.
题型二 基本的分配的问题 (一)定向分配问题
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ （1）甲两本、乙两本、丙两本. （2）甲一本、乙两本、丙三本. （3）甲四本、乙一本、丙一本.
解析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出:
（1）90222426=C C C (种) （2）60332516=C C C (种) （3） 301
11246=C C C (种)
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ （1）每人两本.
（2） 一人一本、一人两本、一人三本. （3） 一人四本、一人一本、一人一本.
解析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以3
3A ，即
（1）903333222426=⋅A A C C C 种， （2）3603
3332516=A C C C 种， （3）90332
2
1
11246=A A C C C 种. 结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。 通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组再分配。 例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
解析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法：第一类每组两本，第二类分别为一本、二本、三本，第三
类两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是902
2
建国多少周年了1
112463
3251633222426=++A C C C C C C A C C C 种。再考虑排列，即再乘以3
3A 。所以一共有540种不同的分法. 题型三 分配问题的变形问题
例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分
为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有62
2
2
2
1314=A C C C 种，然后将这三组(即三个不同元素)分配给
四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有1443
42
2
221314=⋅A A C C C 种. 例6有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
解析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有12602
2
28
19110=A C C C 种分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙
任务又可承担丙任务，所以共有25202
22
2
2819110=⋅A A C C C 种不同的选法. 例7设集合{}{}1,2,3,4,6,7,8A B ==，A 为定义域，B 为值域，则从集合A 到集合B 的不同的函数有多少个？
解析：由于集合A 为定义域，B 为值域，即集合A 、B 中的每个元素都有“归宿”，而集合B 的每个元素接受集合A 中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题.先考虑分组，集合A 中4
个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有62
22
2
1314=A C C C 种分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以33
A ，所以共有363
32
2
221314=⋅A A C C C 个不同的函数. 例8 有四位司机、四个售票员分配到四辆不同的汽车上，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分配方案共有 种.
解析：首先我们需要对司机和售票员进行分组，我们可以让售票员先站好，司机与售票员的分组方案就是司机的全排列4
4A 种，再将各组分配到四辆不同的汽车上有4
4A 种，共有4
4
44=576A A 种不同的分配方案. 题型四 相同元素的分组分配问题
例8 六本相同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ （1）每人两本.
（2）一人一本、一人两本、一人三本. （3）一人四本、一人一本、一人一本.
解析：（1）此组题属于分配中的相同元素的分配问题，要区分于不同元素的分配问题，由于相同的
元素分配给三人，只是单纯的数量分配问题，最简单的解释方法就是“6的分解”问题；每人两本，书都一样，每人的数量有一样，就只有一种分法；
（2）一人一本、一人两本、一人三本，书相同数量不同，不同的分配方案有63
3=A 种； （3）一人四本、另两人都是一本只需要区分谁得了四本的问题，不同的分配方案有31
3=C 种.
三、方法归纳
要想快速准确的解决分组分配问题，我们可以将此类问题分两步来进行，先分组、再分配；需要注意是在分组过程中如果出现均分，每一组的事物数量一样，这就造成了：前面组中一定数量的事物在后面的组中仍然能数量不变的出现，即组中的成员不变但是出现在了不同组中，这也就是所谓的顺序变了，而这种顺序变了产生的方法数量就是组数的阶乘。因此平均分组时要除以组数的阶乘。例如4本不同的书平均分成两组，共有几种分法？2
22
4C C 即为：ad bc ac bd ab cd bc ad bd ac cd ab ,;,;,;,;,;,，发现cd ab ，和ab cd ，表示的是同一种分组分法，因为平均分成了两种，一共重复了!2种，故需要除以平均组数的阶乘，即!2
如果是非均分的分组，前面各组的成员并不能一模一样地出现在后面的组中，并没有带来顺序问题，也就无需除以组数的阶乘。因此审题是关键，方法很重要。
四、高考链接
1.（2017课标II ，理6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
答案：D
解析：3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则说明有一人需要完成两项
工作，先将4项工作分成3组，其中一组2人另两组都是一人，不同的分组方案有211421
2
2
C C C A 种，再分配给3名志愿者有3
安卓桌面设置3A
种分配方案，所以说不同的分配方案有
211323
4213432
2
=36C C C A C A A =种. 2.（2012全国，理8）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种
怎样网上订火车票答案:A
解析：与司机售票员的匹配方案相同，先将老师固定，将4名学生先平均分成两组有24
22C A 种方案，与老师
组合224222C A A 种分组方法，再分配到甲、乙两地有222
42222
=12C A A A 种不同的安排方案.
五、巩固提高
1.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是( )
A ．1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种
答案：C
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7
人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有211
10872520C C C =种.
2.(2018豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，也不同的分配方
案有（ ）
A. 72种
B. 36种
C. 24种
D. 18种 答案：B
解析：2名内科医生，每个村一名，有2种方法；3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科、2名护士和2名外科医生、1名护士，则不同的分配方案有
1211223333()36A C C C C +=种.
3.(福州八中2017高三质检8) 在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待, 现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿, 这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家, 且每家酒店至少有一个参会国入住, 则这样的安排方法共有（ ） A ．96种 B ．124种 C ．130种 D ．150种
答案：D
解析：第一步，先分组把五个参会国的人员分成三组，
一种是按照1、1、3分组有1135432
2
C C C A （或者是3
5C ）种分组方案； 另一种是按照1、2、2分组有12254222C C C A 种分组方案.共有113122543542
22
22+C C C C C C A A 种分组方案 第二步，再分配113122
3
543542322
2
2+150C C C C C C A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭种安排方法.
4.有5件不同的奖品发给4位先进工作者，每人至少1 件，不同的发法种数是（ ） A. 240 B. 120 C. 60 D. 10
郭敬明最新经典语录答案：A
解析：第一步：5件不同的奖品分成4个小组，分组方法数共有2111
5321
3
3
C C C C A 种； 第二步：再把4 个小组的奖品分给4 个不同的先进工作者，分配方法数有4
4A 种；所以，要完成5件不同的奖品发给4位先进
工作者，需分两步骤完成，利用乖法原理，发放奖品的方法数共有2404
43
3
1
1121325=•A A C C C C 种. 5.(江西省新余市2017届高三全真模拟)某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ）
A. 3600
B. 1080
C. 1440
D. 2520 答案:C
解析：由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：
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