《金融工程学》习题及参考答案
《金融工程学》习题及参考答案
无套利定价和风险中性定价
练习
1、假定外汇市场美元兑换马克的即期汇率是1美元换1.8马克，美元利率是8%，马克利
率是4%，试问一年后远期无套利的均衡利率是多少？
2、银行希望在6个月后对客户提供一笔6个月的远期贷款。银行发现金融市场上即期利
率水平是：6个月利率为9.5%，12个月利率为9.875%，按照无套利定价思想，银行为这笔远期贷款索要的利率是多少？
3、假如英镑与美元的即期汇率是1英镑=1.6650美元，远期汇率是1英镑=1.6600美元，6
个月期美远与英镑的无风险年利率分别是6%和8%，问是否存在无风险套利机会？如存在，如何套利？
4、一只股票现在价格是40元，该股票一个月后价格将是42元或者38元。假如无风险利
率是8%，用无风险套利原则说明，执行价格为39元的一个月期欧式看涨期权的价值是多少？
5、条件同题4，试用风险中性定价法计算题4中看涨期权的价值，并比较两种计算结果。
6、一只股票现在的价格是50元，预计6个月后涨到55元或是下降到45元。运用无套利
定价原理，求执行价格为50元的欧式看跌期权的价值。
7、一只股票现在价格是100元。有连续两个时间步，每个步长6个月，每个单步二叉树
预期上涨10%，或下跌10%，无风险利率8%（连续复利），运用无套利原则求执行价格为100元的看涨期权的价值。
8、假设市场上股票价格S=20元，执行价格X=18元，r=10%,T=1年。如果市场报价欧式
看涨期权的价格是3元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？
9、股票当前的价格是100元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别沙祖康语录
是3元和7元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票）。试问无风险债券的投资成本是多少？如果偏离了这
今年是几点几分立秋个价格，市场会发生怎样的套利行为？
参考答案
1、按照式子：（1+8%）美元=1.8×（1+4%）马克，得到1美元=1.7333马克。
2、设远期利率为i，根据（1+9.5%）×（1+i）=1+9.875%, i=9.785%.
3、存在套利机会，其步骤为：
（1） 以6%的利率借入1655万美元，期限6个月；
（2） 按市场汇率将1655万美元换成1000万英镑；
旷课检讨书（3） 将1000万英镑以8%的利率贷出，期限6个月；
（4） 按1.6600美元/英镑的远期汇率卖出1037.5万英镑；
（5） 6个月后收到英镑贷款本息1040.8万英镑（1000e0.08×0.5），剩余3.3万英镑；
（6） 用1037.5万元英镑换回1722.3万美元（1037.5×1.66）；
（7） 用1715.7美元（1665 e0.06×0.5）归还贷款本息，剩余6.6万美元；
（8） 套利盈余=6.6万美元+3.3万英镑。
4、考虑这样的证券组合：购买一个看涨期权并卖出Δ股股票。如果股票价格上涨到42元，
组合价值是42Δ-3；如果股票价格下降到38元，组合价值是38Δ。若两者相等，则42Δ-3=38Δ，Δ=075。可以算出一个月后无论股票价格是多少，组合 的价值都是28.5，今天的价值一定是28.5的现值，即28.31=28.5 e-0.08×0.08333。即-f+40Δ=28.31，f是看涨期权价格。f=1.69。
5、按照风险中性的原则，我们首先计算风险中性条件下股票价格向上变动的概率p，它满
足等式：42p+38(1-p)=40 e0.08×0.08333,p=0.5669，期权 的价值是：（3×0.5669+0×0.4331）e-0.08×0.08333=1.69，同题4按照无套利定价原则计算的结果相同。
6、考虑这样的组合：卖出一个看跌期权并购买Δ股股票。如果股票价格是55元，组合的价值是55Δ；如果股票的价格是45元，组合的价值是45Δ-5。若两者相等，则45Δ-5=55Δ。Δ=-05。一个月后无论股票价格如何变化，组合的价值都是-27.5，今天的价值则一定是-27.5的现值，即-27.5 e-0.1×0.5=-26.16。这意味着-p+50Δ=-26.16,p=1.16。p是看跌期权的价值。
7、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08，所以p=( e0.08×0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。这里p是风险中性概率。期权的价值是：
(0.70412×21+2×0.7041×0.2959×0+0.29592×0) e-0.08=9.61。
8、本题中看涨期权的价值应该是S-Xe-rT=20-18e-0.1=3.71。显然题中的期权价格小于此数，会引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是20-3=17。17以10%投资一年，成为17 e0.1==18.79。到期后如果股票价格高于18，套利者以18元的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利18.79-18=0.79元。若股票价格低于18元（比如17元），套利者可以购买股票并将股票空头平仓，盈利是18.79-17=1.79元。
9、无风险证券的投资成本因该是100-7+3=96元，否则，市场就会出现以下套利活动。
第一，若投资成本低于96元（比如是93元），则合成股票的成本只有97元（7-3+93），相对于股票投资少了3元。套利者以97元买入合成股票，以100元卖空标的股票，获得无风险收益3元。
第二，若投资成本高于96元（比如是98元），则合成股票的成本是102元，高于股票投资成本2元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来2元的无风险利润。
无套利分析：远期和期货
练习
1.某交易商拥有1亿日元远期空头，远期汇率为0.008美元/日元。如果合约到期
时汇率分别为0.0074美元/日元和0.0090美元/日元，那么该交易商的盈亏如
何？
2.目前黄金价格为500美元/盎司，1年远期价格为700美元/盎司。市场借贷年利
率为10%，假设黄金的储藏成本为0，请问有无套利机会？
3.一交易商买入两份橙汁期货，每份含15000磅，目前的期货价格为每磅1.60元，
初始保证金为每份6000元，维持保证金为每份4500元。请问在什么情况下该交
易商将收到追缴保证金通知？在什么情况下，他可以从保证金账户中提走2000
元？
4.一个航空公司的高级主管说：“我们没有理由使用石油期货，因为将来油价上升
和下降的机会是均等的。”请对此说法加以评论。
5.每季度计一次复利的年利率为14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率
和连续复利年利率。
6.每月计一次复利的年利率为15%，请计算与之等价的连续复利年利率。
三八妇女节祝福语简短20字
7.某笔存款的连续复利年利率为12%，但实际上利息是每季度支付一次。请问1万
元存款每季度能得到多少利息？
8.假设连续复利的零息票利率如下：
期限（年） 年利率（%）
银行创业贷款
1 12.0
2 13.0
3 13.7
4 14.2
5 14.5
请计算第2、3、4、5年的连续复利远期利率。
9.假设连续复利的零息票利率分别为：
期限（月） 年利率
3 8．0
6 8．2
9 8．4
12 8．5
15 8．6
18 8．7
请计算第2、3、4、5、6季度的连续复利远期利率。
10．假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。
11．假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息收益率为每年3%，求该指数4个月期的期货价格。
12．某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于
30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：c该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？d3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？
13．假设目前白银价格为每盎司80元，储存成本为每盎司每年2元，每3个月初预付一次，所有期限的无风险连续复利率均为5%，求9个月后交割的白银期货的价格。
14. 有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期，这样它就希望与银行签订一种在一段时期中都可交割的远期合同。公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现金流。如果把你自己放在银行经理的位置上，你会如何对客户想要的这个产品进行定价?
15．有些学者认为，远期汇率是对未来汇率的无偏预测。请问在什么情况下这种观点是正确的？
16．一家银行为其客户提供了两种贷款选择，一是按年利率11%（一年计一次复利）贷出现金，一是按年利率2%（一年计一次复利）货出黄金。黄金贷款用黄金计算，并需用黄金归还本息。假设市场无风险连续复利年利率为9.25%。储存成本为每年0.5%（连续复利）。请问哪种贷款利率较低？
17．瑞士和美国两个月连续复利率分别为2%和7%，瑞士法郎的现货汇率为0.6500美元，2个月期的瑞士法郎期货价格为0.6600美元，请问有无套利机会？
保险必买的险种18．一个存款账户按连续复利年利率计算为12%，但实际上是每个季度支付利息的，请问10万元存款每个季度能得到多少利息？
19．股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数？请解释原因。
参考答案
1．若合约到期时汇率为0.0075美元/日元，则他赢利1亿×（0.008-0.0075）=5万美元。
若合约到期时汇率为0.0090美元/日元，则他赢利1亿×（0.008-0.009）=-10万美元。
2．套利者可以借钱买入100盎司黄金，并卖空1年期的100盎司黄金期货，并等到1年后交割，再将得到的钱用于还本付息，这样就可获得无风险利润。
3．如果每份合约损失超过1500元他就会收到追缴保证金通知。此时期货价格低于1.50元/磅。当每份合约的价值上升超过1000元，即期货价格超过1.667元/
磅时，他就可以从其保证金账户提取2000元了。
4．他的说法是不对的。因为油价的高低是影响航空公司成本的重要因素之一，通过购买石油期货，航空公司就可以消除因油价波动而带来的风险。
5．每年计一次复利的年利率=
（1+0.14/4）4-1=14.75%
连续复利年利率=
4ln(1+0.14/4)=13.76%。
6．连续复利年利率=
12ln(1+0.15/12)=14.91%。
7．与12%连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率=
4（e0.03-1）=12.18%。
因此每个季度可得的利息=10000×12.8%/4=304.55元。

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