垂美四边形模型
垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。
垂美四边形的性质：①S 垂美四边形ABCD =12
AC •BD ②AB 2+DC 2=AD 2+BC 2
证明：
1)S 垂美四边形ABCD =S △ABC +S △ADC
=12AC •BP +12AC •DP =12AC •(BP +DP )=12
AC •BD 结论：垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。
2)∵AB 2=AP 2+BP 2
CD 2=PD 2+PC 2∴AB 2+CD 2=AP 2+BP 2+PD 2+PC 2
∵AD 2=AP 2+DP 2BC 2=BP 2+PC 2∴AD 2+BC 2=AP 2+BP 2+PD 2+PC 2
∴AB 2+DC 2=AD 2+BC 2
【变形一】如图，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上有一点，连接AP 、BP ，
面试的自我介绍范文则DP 、BP 、AP 、CP 之间的关系：DP 2+BP 2=AP 2+PC 2
证明：∵DP 2+BP 2=DP 2+BC 2+PC 2
PC 2+AP 2=PC 2+DP 2+AD 2
而AD =BC
∴DP 2+BP 2=AP 2+PC 2
【变形二】如图，在矩形ABCD 中，P 为矩形内部任意一点，连接AP 、BP ，CP ，DP
则AP 、BP ，CP ，DP 之间的关系：AP 2+PC 2=DP 2+BP 2三国杀新标准版
证明(思路)：
方法一：
过点P 分别作PE ⊥AB 、PF ⊥BC 、PG ⊥CD 、PH ⊥AD 垂足分别为点E 、点F 、
点G 、点H
由已知条件可得HF ⊥EG ∴HG 2+EF 2=EH 2+FG 2(证明过程略)
而AP =EH 、BP =EF 、CP =FG 、DP =GH
∴AP 2+PC 2=DP 2+BP 2方法二：
将△APD 平移至如图所示位置，点A 与点B 重合，点D 与点C 重合
由平移的性质可得DP =CM ，AP =BM ，DP ∥CM ，
∴四边形DPMC 为平行四边形
∴CD ∥PM 则∠1=∠2 而∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90° 则∠CEP =90°∴BC ⊥PM
∴BM 2+PC 2=CM 2+BP 2(证明过程略)
∴AP 2+PC 2=DP 2+BP 2
【培优过关练】
1.(2023秋·河北石家庄·八年级统考期末)如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，若AD
=2，AB=4，BC=5则CD的长为( )
A.2.5
B.3
C.4
D.13
2.(2022秋·四川绵阳·九年级统考期中)如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则
四边形ABCD的最大面积是()
A.64
B.32
C.16
D.以上都不对
3.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC、BD是方
程x2-16x+60=0的两个解，则四边形ABCD的面积是()
A.60
B.30
C.16
D.32
4.(2022秋·河南信阳·九年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=
16，则四边形ABCD的面积最大值是()
A.16
B.32
C.36
D.64
5.(2023春·八年级课时练习)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边
形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于()
A.7
B.9
C.16
文明礼仪标语D.25
6.(2019·浙江杭州·模拟预测)如图，点E是矩形ABCD内任意一点，连接AE,BE,CE,DE，则下列结论
正确的是()
A.AE+DE=BE+CE
B.AE+CE=BE+DE
C.AE2+CE2=BE2+DE2
D.AE2+DE2=BE2+CE2
7.(2022秋·上海·九年级校考期中)如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直于点O，CD=
BD=5，BC=2，∠BAC=∠BDC，那么AB=．
8.(2022·山东枣庄·统考模拟预测)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”
四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则AB2+CD2=．
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9.(2020·山东日照·校考三模)如果，在Rt△ACB中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在
相互垂真的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA=23②C，O
两点距离的最大值为4：③四边形AOBC的面积为23+4；④斜边AB的中点D运动路径的长度是π
2．其中正确结论的序号是
10.(2020秋·全国·九年级专题练习)学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有
以下重要结论：AP2+CP2=BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在△ABC中，CA=4，CB=6，D是△ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，则
AB的最小值为．
秦沛尔冬升11.(2022秋·天津·九年级天津市第五十五中学校考期末)如图，四边形ABCD两条对角线AC、BD互相
垂直，且AC+BD=10．设AC=x，0<x<5
(1)用含x的式子表示：S陶晶莹妹淘心话
=；
四边形ABCD
(2)当ABCD四边形的面积为8cm2时，求AC、BD的长；
12.(2022秋·江西抚州·九年级南城县第二中学校考阶段练习)
(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边
形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是；(只填序号)
(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由．
(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎
样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
(4)【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形
ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=8，AB=10，求GE长．
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