2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}
260N x x x =--<，则M N =
A ．{}43x x -<<
B ．{}42x x -<<-
C ．{}22x x -<<
D ．{}23x x <<
2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则
A ．()2
2
11x y ++= B ．()2
2
11x y -+=
C ．()2
2
11x y +-=
D ．()2
2
11x y ++=
3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
12
-
（
1
0.6182
≈，称为黄金分割比例）
，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
1
2
。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cm
B ．175cm
C ．185cm
D ．190cm
5．函数()2
sin cos x x
f x x x +=提前还房贷需要付多少违约金
+在[],ππ-的图象大致为
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ．
5
16
B ．
1132
西班牙国歌C ．
2132
D ．
1116
7．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()
a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
端午节优秀作文400字π
8．右图是求
112122
+
+的程序框图，图中空白框中应填入
A ．1
2A A =
+ B ．12A A
=+ C ．1
12A A =
+
D ．112A A
=+
9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则 A ．25n a n =-
B ．310n a n =-
C ．228n S n n =-
D ．21
22
n S n n =-
10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，
1AB BF =，则C 的方程为
A ．2
212
x y += B ．22
132
x y +=
C ．22
143
x y +=
D ．22
154
x y += 11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2 A ．①②④ B ．②④ C ．①④
D ．①③
12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三
角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为
A ．
B ．
C ．
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线()
23x y x x e =+在点()0,0处的切线方程为________． 14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113
a =
，246a a =，则5=S ________． 15．甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据
前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是________．
16．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两
条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，设()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-.
（1）求A ；
（22b c +=，求sin C .
18．（12分）
如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，
2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D
的中点．
（1）证明：MN ∥平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线C ：2
3y x =的焦点F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求AB ． 20．（12分）
已知函数()()sin ln 1f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间1,
2π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 21．（12分）
为某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药试验开始时都赋予4分，i p （0,1,
,8i =）表示“甲药的累计得分为i 时 ，
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =， 81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++（1,2,,7i =）
其中()1a P X ==-，()0b P X ==，()1c P X ==.假设0.5α=，0.8β=.
（ⅰ）证明：{}1i i p p +-（0,1,
,7i =）为等比数列；
（ⅱ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221,141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）若C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =，证明： （1）
222111
a b c a b c
重庆武隆旅游++≤++； （2）()()()3超人不会飞 周杰伦
3
3
24a b b c c a +++++≥．
大闸蟹怎么做好吃
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