2021年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
第一卷
一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 （1）设集合{}
0342<+-=x x x A ，{}
032>-=x x B ，那么=B A
〔A 〕〔3-，23-
〕 〔B 〕〔3-，23〕 〔C 〕〔1，23〕 〔D 〕〔2
3
-，3〕 （2）设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，那么=+yi x
〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕2
（3）等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，那么=100a
〔A 〕100 〔B 〕99 〔C 〕98 〔D 〕97
（4）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的
时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是 〔A 〕31
〔B 〕
21 〔C 〕32 〔D 〕4
3 （5）方程132
2
2
2=--+n
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m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的间隔 为4，那么m 的取值范围是 〔A 〕〔1-，3〕 〔B 〕〔1-，3〕 〔C 〕〔0，3〕 〔D 〕〔0，3〕
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．假
设该几何体的体积是
3
28π
，那么它的外表积是 〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π
（7）函数x
e x y -=2
2在[]22，
-的图象大致为
〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕
（8）假设1>>b a ，10<<c ，那么
〔A 〕c c b a < 〔B 〕c c ba ab < 〔C 〕c b c a a b log log < 〔D 〕c c b a log log <
（9）执行右图的程序框图，假如输入的0=x ,1=y ,1=n ，那么输
出y x ，的值满足
〔A 〕x y 2= 〔B 〕x y 3= 〔C 〕x y 4= 〔D 〕y （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,
B 两点，交C 点．24=AB ，52=DE ，那么C 的焦点到准线的间隔 〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕8
（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平
面n A ABB =11，那么n m ，所成角的正弦值为
〔A 〕
垃圾分类手抄报内容23 〔B 〕22 〔C 〕33 〔D 〕3
1
（12）函数)sin()(ϕω+=x x f 2,0(πϕω≤
>，4
π-=x 为)(x f 的零点，4π
=x 为)(x f y =图象的对
称轴，且)(x f 在36
5,18(
π
π单调，那么ω的最大值为 〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5
第二卷
本卷包括必考题和选考题两局部。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：此题共4小题，每题5分。 （13）设向量)1,(m a =，)2,1(=b ，且2
22
b a b a +=+，那么=m ．
（14）5)2(x x +
的展开式中，3x 的系数是 ．〔用数字填写答案〕
（15）设等比数列{}n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，那么n a a a ⋯21的最大值为 ． （16）某高科技企业消费产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.消费一件A 需要甲材料1.5kg，乙材料
1kg ，用5个工时；消费一件润为2100元，消费一件B 产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，
乙材料90kg ，那么在不超过600工时的条件下，消费产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 ．
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）〔本小题总分值12分〕
ABC △的内角C B A ,，的对边分别为c b a ,,，c A b B a C =+)cos cos (cos 2.
〔Ⅰ〕求C ； 〔Ⅱ〕假设7=c ，ABC △的面积为
好玩的单机游戏推荐2
3
3.求ABC △的周长.
（18）〔本小题总分值12分〕
如图，在以F E D C B A ,,,,，为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，FD AF 2=，
︒=∠90AFD ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是60°.
〔Ⅰ〕证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； 〔Ⅱ〕求二面角A BC E --的余弦值.
（19）〔本小题总分值12分〕
某公司方案购置2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购置机器时零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损
零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购置2台机器的同时购置的易损零件数.
〔Ⅰ〕求X 的分布列；
〔Ⅱ〕假设要求5.0≥≤）（n X P ，确定n 的最小值；
〔Ⅲ〕以购置易损零件所需要的期望值为决策根据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？
（20）〔本小题总分值12分〕
设圆01522
2
=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ，两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
〔Ⅰ〕证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
立春祝福语发朋友圈〔Ⅱ〕设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ，两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ，
两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
（21）〔本小题总分值12分〕
函数2
)1()2()(-+-=x a e x x f x
有两个零点. 〔Ⅰ〕求a 的取值范围；
〔Ⅱ〕设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x .
请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题计分。 （22）〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲
如图，OAB △是等腰三角形，︒=∠120AOB .以O 为圆心，OA 2作文怎么写
1
为半径作圆. 〔Ⅰ〕证明：直线AB 与⊙O 相切；
〔Ⅱ〕点D C ，在⊙O 上，且D C B A ,,，四点共圆，证明：
CD AB ∥.
（23）〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧+==,sin 1,
洗衣机十大品牌排名cos t a y t a x (t 为参数，0>a ).在以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：θρcos 4=. 〔Ⅰ〕说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；
〔Ⅱ〕直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，假设曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .
（24）〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲
函数321)(--+=x x x f .
〔Ⅰ〕在答题卡第〔24〕题图中画出)(x f y =的图像； 〔Ⅱ〕求不等式1)(>x f 的解集.
2021年全国卷Ⅰ高考数学〔理科〕答案与解析
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