中的概率统计问题
随着福利和体育在全国各地普遍发行，一股购买、谈论中奖的热潮，正在各个城市兴起．各家大、小报纸，不时刊登摸彩、中奖的消息和评论．这些文字中有时也谈到摸彩与数学的关系．但是，说也不详，论而不确．因此有从数学的角度加以澄清的必要．何况，与概率统计知识十分密切，这正是中学数学联系社会实际的好材料．本文就用概率统计的方法，来谈谈的中奖率、数学期望和大奖的随机性．当然，这首先要了解的玩法和设奖方式．
目前政府允许发行的两种──福利和体育，其玩法和设奖方式是不同的．即使同一种，各省市也略有不同．现以安徽电脑型体育和“安徽风采”电脑福利为例，分别予以说明．
1 电脑型体育
1.1玩法和设奖方式
玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张．每张由一个6位数字和一个特
别号码组成．每位数字均可填写0、1、…、9这10个数字中的一个；特别号码为0、1、2、3、4中的一个．
每期设六个奖项，投注者随机开出一个奖号──一个6位数号码，另加一个特别号码即0～4中的某个数字．中奖号码规定如下：上填写的6位数与开出的6位数完全相同，而且特别号码也相同──特等奖；6位数完全相同──一等奖；有5个连续数字相同──二等奖；有4个连续数字相同──三等奖；有3个连续数字相同──四等奖；有2个连续数字相同──五等奖．
每一期以收入的50%作为奖金．三、四、五等奖的奖金固定，特、一、二等奖的奖金浮动．例如，如果一等奖号码是123456，特别号为0，那么各等奖项的中奖号码和每注奖金，如下表所列：
1.2中奖概率
以一注为单位，计算每一注的中奖概率．
特等奖──前6位数有106种可能，特别号码有5种可能，共有106×5＝5000000种选择，而
特等奖号码只有一个，因此，一注中特等奖的概率为：
P0＝1/5000000＝2×10-7＝0.0000002；
一等奖──前6位数相同的，只有一种可能，故中一等奖的概率为：
P1＝1/1000000＝10-6＝0.000001；
二等奖──有20个号码可以选择，故中二等奖的概率为：
P2＝20/1000000＝0.00002；
三等奖──有300个号码可以选择，故中三等奖的概率为：
P3＝300/1000000＝0.0003；
四等奖──有4000个号码可以选择，故中四等奖的概率为：
P4＝4000/1000000＝0.004；
五等奖──有50000个号码可以选择，故中五等奖的概率为：
P5＝50000/1000000＝0.05．
合起来，每一注总的中奖率为：
P＝P0＋P1＋P2＋P3＋P4＋P5＝0.0543212≈5.4%，
这就是说，每1000注，约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)．
1.3中奖的期望值
因为体育和福利一样，奖金的返还率为超简单的柠檬鸡爪50%，所以，从总体上来说，每一注的期望值应该是1元．现在，我们来实际计算一下，看是否如此．
的期望值依赖两个因素，一是各个奖级的中奖概率，一是各个奖级的奖金数额．中奖概率已经计算出，体彩的三、四、五等奖，已经知道；但前三个奖级的奖金是浮动的，需要进行估计．
根据规定，这三种奖级的奖金与三个因素有关，一是当期奖金总额，即销售的总注数；二是上期“奖池”中的累积奖金；三是滞留下期“奖池”的奖金．
综合这几种因素，再结合对2001年2—4月发行的20期获奖情况统计的平均值，可以作如下假定：第一，每一期售出100万注，奖金总额为100万；第二，每期前三个奖级奖金取平均值；第三，奖池的累积奖金以平均值计算．结果如下：
从而，算得期望值
E＝0.0000002×2000000＋0.000001×50000＋0.00002×5000＋0.0003
×300＋0.004×20＋0.05×5
＝0.发生火灾怎么办4＋0.05＋0劳动法 年假.1＋0.09换锁芯防盗门＋0.08＋0.25
＝0.97(元)，
即每一注体育的中奖的期望值约为0.97元．这与理论值(1元)非常接近．
2 “安徽风采”电脑福利
2.1玩法和设奖方式
“安徽风采”电脑福利，采取国际上通行的33选7的玩法，2元一注，每一注填写一张，从01、02、…、33这33个号码中，选取7个号码．每一期开出7个号码，以及一个特别号码．中奖号码如下表所示：
2.2中奖概率
也是以一注为单位，计算一注中奖的概率．为简单起见，我们建立一个摸球模型：假设袋子里有33个球，其中有7个红球，1送女朋友礼物个黄球和25个白球．红球为中奖号码，黄球为特别号码，白球为其他号码．于是，每一注，就相当于一次从袋子中摸出7个球来，如果摸出7个红球，即为一等奖；摸出6个红球、一个黄球，即为二等奖；摸出6个红球、一个白球，即为三等奖；摸出5个红球、一个黄球、一个白球，即为四等奖；摸出5个红球、两个白球，即为五等奖；摸出四个红球、一个黄球、两个白球，为六等奖；摸出4个红球、3个白球，或者3个红球、一个黄球、三个白球，为七等奖．因此，各个奖级选中的概率为：
合起来，每一注中奖的概率为：
P＝0.0417848＝4.17848%≈4.18%，
即每10000注中，约为418注中奖(包括各个奖级)．
2.3福利中奖的期望值
福利各奖级的概率、奖金数额列表如下：
其中一、二、三等奖的奖金数额，是根据2001年2—4月发行的22期的实际情况统计的平均值，进行估计的．
期望值E＝0.000000234×1970000+0.000005638×35910+0.000040964×2458
+0.00012289×500+0.00147475×50+0.00245783×10+0.03768687×5
＝0.394+0.201096+0.1005322+0.0614+0.0733735+0.0245783+0.188434
＝0.8426793≈0.84(元)，
即每一注福利的期望值约为0.84元．
这与规定的50%的返奖率和理论期望值──1元，也相差不大．之所以存在误差，主要是由于对前三个奖级奖金的估计，以及“奖池”中累计奖金估计的误差而造成的．
3 中奖号码的随机性
随着市场的发展，“彩民”们越来越关注每一期的中奖号码，各地晚报上也不时发表谈论的文章．有的说中奖号码没有规律，有的则振振有词地说有“规律”．那么中奖号码到底有没有“规律”可循？
3.1就每一期的中奖号码来说，是没有规律的
我们知道，每一期开奖，都是用号码机公开摇奖．这样摇出来的中奖号码，应该相信是随机的，即0、1、……、9这10个数字，出现在中奖号码的每一个数位上的可能性，都是相
等的．因此，就每一个中奖号码来说，它的出现是毫无规律可言的，因此是事先猜不到的．现在甚至有所谓“预测”中奖号码的电脑软件，不过是假借此偶然性来推测偶然性的游戏，是不足为信的．
3.2从总体上来说，中奖号码又服从某些统计规律
从概率统计的观点来说，对于多次开奖开出的中奖号码，又具有某些统计规律．例如，体育是由6个中奖号码和一个特别号码组成的，每一个中奖号码上出现0、1、…、9的可能性相等，即其出现的概率都是0.1，因此它的数学期望是：(0＋1＋…＋9)×0.1＝4.5．所以6个基本号码的和的数学期望是4.5×6＝27．这就是说，尽管每一个中奖号码是随机的，但是，它的6个数字之和，其平均值为27．又可以算得其均方差为17．
由概率论的中心极限定理知，中奖号码各个数字之和X，服从正态分布：
由此可知，|X－27|≤17即10≤X≤44的概率为68.26%．即中奖号码各个数字之和，在27附近的可能性较大．同样，“安徽风采”中每个基本号码(二位数)值的数学期望是(01＋02＋…＋33)×1/33＝17，7个基本号码──7个二位数的的期望值为119．亦即，中奖号码的7个二位数之和为119的可能性也较大．再一个统计规律是：中奖号码中数字的重复率不会很高．例如，体育中奖号码6个数字中有3个相同的概率，只有0.01．
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论