中的数学
李英雄， 郭松海， 康 慧 指导教师： 蔡吉花 陈兴元 母丽华 (黑龙江科技学院，哈尔滨150001)
编者按：本文考虑了单注收益率、彩民心理因素、设置公平度等因素，尽管量化这些因素不一定恰如
其分，但以这些因素构造判别函数还是合理的，文章据此判定现行方案的优劣，规划出更优的方案。正如文章的讨论所述所得优化方案与销售额有关是一个大缺陷。数模竞赛多年来均提出要注意摘要的质量。今年的B 题要求作者给报纸写一篇论文供彩民参考，本文的短文是一篇不错的文章、写摘要和短文的能力是竞赛要求的，对科技工作人员也是非常重要的，但今年竞赛论文在这方面仍有很多问题，许多短文并没有为彩民提供恰当的信息，正确认识和分析活动。
摘 要：本模型讨论的是如何评判传统型和乐透型的一般评奖方案的合理性问题。本文首先根据
中奖规则，利用古典概率求出了这两种类型的各种奖项出现的可能性。把每注中奖与否看成贝努利试验，在假设每期的销售量足够多的前提下，由贝努利大数定律归结为正态分布，从而求出了每注的平均收益率。在此基础上，结合公平尺度，利用彩民的心理因素构造了评判方案合理性的判别函数，利用MATlAB6．1软件编程计算，判别出题目所给方案的奖金设置的优劣，并且利用
这个判别函数，我们建立了求解最优方案的非线性规划模型。通过求解所建立的模型，到在给定销售注数下最优方案及奖项和奖金额的设置。
关键词：；二项分布；期望收益率；判别函数
分类号：AMS(2000)90C05 中图分类号：0221.1 文献标识码：A
1 问题的重述(略)
2 模型的假设及符号说明
2．1模型的假设
1)每注只兑付最高奖级奖金，不可兼得； 2)假设的规则是以公平合理为原则；
3)假设的发行费用不计，总奖金比例一般为销售总金额的50％；
4)假设高项奖按事先设定的百分比分配，且按当期各奖级实际中奖注数平均分配该奖 5)奖金取决于当期投注额的多少 6)假设彩民大都具有心理。 2．2符号说明
1）:(1,2,3)i i i η=表示等奖是否被取走，即0i η=或1； 2）:(1,2,k k ξ=…,7）表示k 等奖注数； 3）:(1,2,
3)i X i =表示i 等奖中奖注数； 4）n ：表示当期已售出的注数；
5）:(1,2,i x i =…,7)表示每注第i 项奖的奖金额；
6）ξ：表示取走的奖金额ξ=
37
1
4
i i k k
i k x x
ηξ==+∑∑；
7）
()
:
E n
ξ表示一注中奖被取走的奖金比率，即单电流计彩标平均收益率； 8）i P ：表示第i 等奖概率（1,2,i =…,7）； 9）:(1,2,3)i r i =表示第i 10）():w t 表示心理函数；
11）S ：表示低项奖奖额在总奖项中所占的比例； 12）f ：判别方案合理性的判别函数。 3 问题的分析
3.1求两种类型每注中各奖项的概率。
设有7等奖，对某一方案而言，每注中中各等将奖的概率是可求的，分辊用P 1，P 2，……，P 7来表示中一等奖到七等奖的概率。由古典概率问题求得传统型和乐透型概率如下（略）
3．2设当期售n 注，研究每注的收益
由于当期的总奖金与售出注数n 有关，n 注中，获得第i 等奖的中奖注数i ξ是随机变量，且i ξ服从二项分布b （,i n p ），即()(1)k k n k i n i i p k c p p ξ-==- 由贝努利大数定律可知，当n 足够大时，i ξ近似服从正态分布，
2
()
()2x f x μσ-=
其期望与方差分别为
2
(1)
i i
i i i E nP D nP P μξσξ==⎧⎪⎨==-⎪⎩ 记
44556677Y x x x x ξξξξ=+++
由i ξ的独立性
44556677()()()()()E Y x E x E x E x E ξξξξ=++
44556677nP x nP x nP x nP x +++
高项奖4的第i 等奖的奖金额X ，由题目中给出的计算方法得
7
4
()123i i k k k x r n x i ξ==-=∑，，，
若(1,2,3)i i i η=表示等奖是否被取走，则i η服从两点分布。0i η=表示i 等奖没被取走，
言什么什么什么1i η=表示i 等奖没被取走，其分布率为
(0(1),(1)[1(1)]n n i i i i p p p p ηη==-==--
若ξ表示取走的奖金总额，3
1
i i k k
i x x ξηξ==
+∑∑它是一个随机变量，则n ξ
表示单注的收益率。基于的总奖金比例一般为销售总额的50%，单注金额为2元，首先分析n武侠影评
ξ
的数学期望(
)E n
ξ
3
7
7
3
7
1
4
414
()
()
1[()]i i k k i k k k k k i i k i k E X x E p x E n x r n
n
n ηξξξη=====+==+-∑∑∑∑∑
7
3
稀少好听的二字ID
3
7
41
14733
7
4
1
1
4
1()[]
[1(1)][1(1)](1)
k k i i k i k i k i i k n n
k k i i k
i
k i
k i i k p x r E E x r n p x P r P P x r
ηξη=========+-=+-----∑∑∑∑∑∑∑
∑
取n=100万，150万，200万，300万，利用公式（1）求出了题目表三中29种方案，在不
同n 下每注的平均收益率，从运算结查看，随着n 的增大，平均收认罪率趋定值1。 3.3从公平因素出发进行分析
利用公平原则确定奖金在各个奖面中分配情况，中奖的概率i P 第i 项奖单注中奖金额i x 具有相关性，即中奖可能性越小，奖金额越高，例如，在打麻将中，和边与和夹的几率相差近2看守，获得报酬也差
2倍。再者中奖几率和成本有直接关系，假设中一等奖的概率是0.001，中二等奖的概率是0.01，是一等奖平均抽1000注（需2000）元才能中一次，而二等奖需要100注（需200元），可见中奖收益和中奖概率应成反比，最理想的情奖品为中奖概率和奖金额乘积等于常数。我们把总奖金额分成低项、高项两部分，在每项内部考虑公平因素，若考虑奖项为1到7等奖的方案
1212(,1
,2,3),(4,5,6,7),,i i k k Px c i P x c k c c ===为常数 我们称议价以式为公平尺度。
若低项奖的百分比为S ，则高项奖的百分比为（1-s ），上低项奖内部公平尺度有以下公式
{4455667744556677(2)P x P x P x P x nP x nP x nP x nP x sn
===+++=
由高项奖内部公平尺度以下公式
112233
123(1)·[1(1)]1n i i i i
r s n P x nP Px P x P x r r r ⎧---=
⎪⎪⎪
=-⎨⎪++=⎪⎪⎩
112233123(1)[1(1)]
,(1,2,3)(1(1))(1(1))(1(1))1n i i i i
n n n r s P x i nP r p r P r p r r r ⎧---=
=⎪⎪⎪
⇒--=--=--⎨⎪++=⎪⎪⎩
则3
西江月夜行黄沙道中译文1122331
(1)
[1(1)]n
i
哪种中奖率高i
i Px P x P x s r P =++=---∑（当n 是定值时，其值是常数）
。 以3
11
()i i i d P x ==∏反映了高项将的公平程度，此时当且仅当112233Px P x P x ==时1d 最大。同
理3
24
()k k k d P x ==∏也反映了低项奖的公平程度。我们可取12d d d =可作为衡量公平程度的数
学表达式，但由于i k Px 远小于1，所以d
很小，设7,μ=记为总公平因子。
3.4心理的因素分析
彩民的兴趣大小与单注收益率、公平度相关。对一个方案，彩民的看法主要是由收益决定的。我们用这个量的某个涵数来衡量方案的彩民的吸引力，而彩民的看法是一个心理在素，是一个很难准确衡量的量。根据心理学的知识，人的心理因素的变化可用心理函数来近拟刻画，心理与单注的收益率有关，因此，取心理涵数为
()1nt w t e -=-
其中(),t E n n
ξ
=表示销售注数。
4 模型的建立与求解
军训生活作文综合以上的分析，我们用影响方案合理性的三个因子：收益期望，公平因素，因素，来构造给定方案合理性的评判函数，并且通过求解这个函数的值来定各方案的优劣。
4.1评价涵数的构造（第一问的解答）
方案的吸及力函数f=因子*公平因子，即
73734
141()(1)(1(1))(1(1))7nt n n k k i i k k i i k i k i f w t e t P x r P P x r P μμμ-====⎧=⨯=-⨯⎪⎪=+-----⎨⎪⎪=⎩
∑∑∑∑
根据目前每期开奖的有关资料，以及题目中对单注一等奖奖金的约束，取销售注数n=200万注进行计算。
以29个方案的有关数据代入判别函数f 中，求出f 的值，通过比较f 值的大小，我们可以确定给嫁祸于人的各种方案的优劣。
由此得到对29个方案的排序为
9,5,11,8,7,19,20,16,24,10,6,22,18,25,12,26,13,14,23,15,17,21,29,2,27,3,28,4,1
4.2第二问的模型及解答
由问题一的法语解结果可以看出，传统理和无特别号（23号）的方案已不可能列入最优方案中，因此，问题二中只需在乐透型的两种方案（M N 和1N ）进行讨集结，我们需要求出当M ，N 取何值，取几个奖项，高项奖的百分比i r 及低项奖的奖金额k x 为多少时方案最优。
最优方案的目标函数仍然问题一的判别函数，其中的变量,,,i k M N r x ，根据题目的表3给出的数据和问题一的讨论满足如下的条件。
11572960
0.50.8(1,2,3)
＞(1,2……6)6000005000000
i k k M N r i x x k x +≤≤≤≤≤≤==≤≤，，
若销售n 注，是i 等奖被取走的概率为（1-（1-i p ）n
），有均有i nP 注获i 等
奖。因此i 等奖能取走的金额为
7
4
()(1(1)),(1,2,3)n k k i i
k i i
n x P r x i nP ξ=---=
=∑
由公平原则1111,(1,2)
,(4,5,6)i i i i k k
k k P x Px i P x P x k ++++≈=⎧⎨≈=⎩
因此
11i i i i x p x p ++≈而N 最大为60，因此1
1160i i p p +≤≤，可约束160i i x x +≤。 综合以上的分析可得到问题二的求解模型为
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